初等数学公式集/初等幾何/体積

このページでは体積の公式の解説をします。

直方体の体積

V = abh

立方体の体積

V = a³

柱体の体積

V = Sh

錐体の体積

$V=\frac{1}{3}Sh$

錐体

錐体の頂点から底面$S$（右図では$A_b$）に垂線を下して、頂点から$x(0\le x\le h)$の距離で底面と平行に錐体を切り取ったことで得られる図形を$A_x$とする。

この時、錐体の定義から、$S$と$A_x$は相似である。

相似な図形の面積比は、相似比の２乗に等しいことから、

$S:A_x=h^2:x^2$

従って、

$A_x=\frac{x^{2}S}{h^2}$

錐体の体積は、平面図形$A_x$に関して、$0\le x\le h$の区間で変化させ累積したものであるから、$A_x$を区間$[0,h]$で積分することにより得られる。

$V=\underset{0}{\overset{h}{\int }}{A}_{x}dx$ $=\underset{0}{\overset{h}{\int }}\frac{x^{2}S}{h^2}dx$ $=\frac{S}{h^2}\underset{0}{\overset{h}{\int }}{x}^{2}dx$ $=\frac{S}{h^2}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^h$ $=\frac{S}{h^2}\left(\frac{h^3}{3}\right)$$=\frac{1}{3}Sh$

錐台の体積

錐台

上底の面積 $s$（右図では$A_2$）、下底の面積 $S$（右図では$A_1$）、高さ $h$ の錐台の体積 $V$

錐台は、別名「切頭錐体」のとおり、$S$を底とする錐体:$P_1$から、$s$を底とする相似な錐体:$P_2$を除いたものとされる。

錐体:$P_1$の高さを $H$とすると、錐体:$P_2$の高さは $H-h$となり、各々の体積は、

$V_1=\frac{1}{3}SH$, $V_2=\frac{1}{3}s(H-h)$ となるので、求める体積$V=\frac{1}{3}(SH-s(H-h))=\frac{1}{3}(H(S-s)+hs))$(※)となる。

相似比と面積比の関係から、

$S:s=H^2:(H-h{)}^2$

従って、

$\sqrt{S}:\sqrt{s}=H:(H-h)$

$H\sqrt{s}=(H-h)\sqrt{S}$

$H(\sqrt{S}-\sqrt{s})=h\sqrt{S}$

$H=\frac{h\sqrt{S}}{\sqrt{S}-\sqrt{s}}$$=\frac{h\sqrt{S}(\sqrt{S}+\sqrt{s})}{S-s}$$=\frac{h(S+\sqrt{sS})}{S-s}$

これを、※に代入すると、以下の式を得る。

$V=\frac{h}{3}(s+\sqrt{sS}+S)$

くさび形の体積

くさび形

• 下底が 縦のながさ a、横のながさ bの長方形、縦と平行である上辺のながさ c、高さ h のくさび形の体積 V：

  $V=bh(\frac{a}{3}+\frac{c}{6})$

くさび形の上辺から底面に垂線を下して、頂点から$x(0\le x\le h)$の距離で底面と平行にくさび形を切り取ったことで得られる図形（長方形）を$S_x$とする。

この長方形の縦横は比例の関係から以下のとおりとなる。

• 縦:$\frac{(a-c)x}{h}+c$, 横:$\frac{bx}{h}$
• $S_x=(\frac{(a-c)x}{h}+c)\left(\frac{bx}{h}\right)$$=\frac{(a-c)b{x}^2}{h^2}+\frac{bcx}{h}$

くさび形の体積は、平面図形$S_x$に関して、$0\le x\le h$の区間で変化させ累積したものであるから、$S_x$を区間$[0,h]$で積分することにより得られる。

$V=\underset{0}{\overset{h}{\int }}{S}_{x}dx$ $=\underset{0}{\overset{h}{\int }}(\frac{(a-c)b{x}^2}{h^2}+\frac{bcx}{h})dx$ $=\frac{b}{h^2}\underset{0}{\overset{h}{\int }}((a-c)x^2+chx)dx$ $=\frac{b}{h^2}{[\frac{(a-c)x^3}{3}+\frac{ch{x}^2}{2}]}_0^h$ $=\frac{b}{h^2}(\frac{(a-c)h^3}{3}+\frac{c{h}^3}{2})$$=bh(\frac{a}{3}+\frac{c}{6})$

正多面体の体積

正四面体の体積

$V=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$

ファイル:正四面体の体積.png

まず底面から計算します。

正四面体の頂上の頂点は、底面を形成する3点から等しい位置にあるので、

そこから真下へ線を伸ばしたとき、その線と底面との交点は、3点から等しい位置、即ち中心(外心、内心、重心、垂心)に位置することになります。

さらに底面の図形は正三角形なので、それぞれの点から中心をとおり、対辺に繋がる線分を引くと、3線全てが、対辺を垂直に2等分します。

このとき、この線分の長さ(右図上の赤線の長さ)は、三平方の定理によって、

$\begin{array}{ccc}\sqrt{a^2-{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2}& =& \sqrt{a^2-\frac{1}{4}{a}^2}\\ \\ & =& \sqrt{\frac{3}{4}{a}^2}\\ \\ & =& \frac{\sqrt{3}}{2}a\end{array}$

次に青線2本と緑線1本で形成される二等辺三角形に、緑線を対象の軸とした線対称な二等辺三角形を作図します。

この二等辺三角形は、底角が30ﾟ(正三角形の角の2等分線であるため)なので、2つ繋げると60ﾟになります。

2辺が等しく、その間の角が60ﾟである二等辺三角形は正三角形なので、

右図上の黒線全体の長さは、青線の長さに等しく、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分するため、

この黒線のうち正三角形の内側に入る黒線の長さは、青線の長さの半分、つまり、赤線の長さの$\frac{1}{3}$となります。

逆に青線の長さは赤線の長さの$\frac{2}{3}$なので、

$\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{3}}{2}a\times \frac{2}{3}& =& \frac{\sqrt{3}\times 2/}{2/\times 3}a\\ \\ & =& \frac{\sqrt{3}}{3}a\end{array}$

続いて高さ。高さはこれまでに調べた長さと三平方の定理を利用すれば、

$\begin{array}{ccc}\sqrt{a^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)}^2}& =& \sqrt{a^2-\frac{1}{3}{a}^2}\\ \\ & =& \sqrt{\frac{2}{3}{a}^2}\\ \\ & =& a\sqrt{\frac{2}{3}}\end{array}$

底面積、高さが出たので、

$\begin{array}{ccc}V& =& a\times \frac{\sqrt{3}}{2}a\times \frac{1}{2}\times a\sqrt{\frac{2}{3}}\times \frac{1}{3}\\ \\ & =& \frac{a\times a\sqrt{3}/\times a\sqrt{2}}{2\times 2\times 3\times \sqrt{3}/}\\ \\ & =& \frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3\end{array}$

立方体から考える

ファイル:正四面体の体積2.png 正四面体の体積は、立方体との関係からも導出することができます。
立方体と頂点を共有した正四面体は、全ての辺が立方体の面の対角線になっています。
よって、立方体から余った体積を引けば、正四面体の体積を導き出すことができます。

正四面体の1辺の長さをaとします。
余った部分は全部で4つありますが、辺の長さは全てそれぞれ等しいので、これらは合同になります。

立方体の1辺の長さは、正方形の辺と対角線の長さの比「$1:\sqrt{2}$」から、

$a\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

余った部分は三角錐とみなすことができるので、角錐の体積から、

$\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}a\times \frac{\sqrt{2}}{2}a\times \frac{\sqrt{2}}{2}a$

$=\frac{1}{6}\times {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^3$

$=\frac{1}{6}\times \frac{\sqrt{2}}{4}{a}^3$

$=\frac{\sqrt{2}}{24}{a}^3$

最後に立方体から角錐4つを引きます。

${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^3-4\left(\frac{\sqrt{2}}{24}{a}^3\right)$

$=\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^3-\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^3$

$=\frac{3\sqrt{2}}{12}{a}^3-\frac{2\sqrt{2}}{12}{a}^3$

$=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$

正八面体の体積

$V=\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$

ファイル:正八面体の体積.png

高さは底面の対角線の交点から求めることができます。

正八面体は、体積の等しい正四角錐が2つあると見ることができます。
それらの角錐の高さは、角錐の底面の対角線の交点から求めることができます。
底面に対し、頂上の頂点と底面の対角線の交点を結ぶ直線は垂直になるので、
高さは、角錐の母線と対角線から、三平方の定理で導出できます。

対角線の長さは、

$\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

対角線は互いの中点で交わるので、

$\frac{a\sqrt{2}}{2}$

高さは、母線と対角線の半分から、

$\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}$

$=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}$

$=\sqrt{\frac{a^2}{2}}$

$=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

実は、正八面体はどこで正四角錐2つに分離しても、高さは同一であるため、対角線の半分が既に高さになっています。
最後に、錐体の体積の公式から、

$V=2\times \frac{1}{3}\times a^2\times \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$=\frac{1}{3}\times \sqrt{2}{a}^3$

$=\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$

正十二面体の体積

$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{a}^3$

正二十面体の体積

$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{a}^3$

球・冠形・球台の体積

球の体積

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

$x^2+y^2+z^2=r^2$である球を考える。

$x=t$でこの球を切断すると、半径$\sqrt{r^2-t^2}$である円;$C$を得るが、この円;$C$の面積は$\pi (r^2-t^2)$である。

球の体積は、この円;$C$に関して、$-r\le t\le r$の区間で変化させ累積したものであるから、$\pi (r^2-t^2)$を区間$[-r,r]$で積分することにより得られる。

$V=\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\pi (r^2-t^2)dt$ = $\pi \underset{-r}{\overset{r}{\int }}(r^2-t^2)dt$ = $\pi \underset{-r}{\overset{r}{\int }}(r^2-t^2)dt$ = $\pi {[t{r}^2-\frac{t^3}{3}]}_{-r}^r$ = $\pi \{(r^3-\frac{r^3}{3})-(-r^3+\frac{r^3}{3})\}$ = $\frac{4}{3}\pi r^3$

冠形の体積

球冠

• 関係する諸数値を以下のものとする（右図参照）。
  • 球の半径 $r$
  • 球冠の底の半径 $a$
  • 球冠の高さ $h$
  • 球の中心から球冠の頂点（極）までの線と球冠の底を形作る円板の端との間の極角 $\theta$

  　

1. $r$ と $h$ が与えられている場合

   $x^2+y^2+z^2=r^2$である球を考える。

   $x=t$でこの球を切断して得た円;$C$を$r-h\le t\le r$の区間（または、$-r\le t\le -r-h$）で変化させ累積したものが冠形の体積であるから、$x=t$における、円の面積$\pi (r^2-t^2)$を区間$[r-h,r]$で積分することにより得られる。

   　

   $V=\underset{r-h}{\overset{r}{\int }}\pi (r^2-t^2)dt$ = $\pi \underset{r-h}{\overset{r}{\int }}(r^2-t^2)dt$$=\pi \underset{r-h}{\overset{r}{\int }}(r^2-t^2)dt$$=\pi {[t{r}^2-\frac{t^3}{3}]}_{r-h}^r$$=\pi \{(r^3-\frac{r^3}{3})-((r-h)r^2-\frac{(r-h{)}^3}{3})\}$$=\pi (\frac{2r^3}{3}-r^3+h{r}^2+\frac{r^3}{3}-h{r}^2+h^{2}r-\frac{h^3}{3})$$=\pi (h^{2}r-\frac{h^3}{3})$$=\frac{\pi h^2}{3}(3r-h)$（※1）

2. $a$ と $h$ が与えられている場合

   $r^2=a^2+(r-h{)}^2$から、$r=\frac{a^2+h^2}{2h}$

   ※1に代入して、$V=\frac{\pi h^2}{3}(3r-h)$$=\frac{\pi h^2}{3}(\frac{3(a^2+h^2)}{2h}-h)$$=\frac{\pi h^2}{3}\left(\frac{3a^2+3h^2-2h^2}{2h}\right)$$=\frac{1}{6}\pi h(3a^2+h^2)$（※2）

3. $r$ と 極角 $\theta$が与えられている場合

   $\cos \theta =\frac{r-h}{r}$であるから、$h=r(1-\cos \theta )$

   ※1に代入して、$V=\frac{\pi h^2}{3}(3r-h)$$=\frac{\pi r^2(1-\cos \theta {)}^2}{3}(3r-r+r\cos \theta )$$=\frac{\pi }{3}{r}^3(2+\cos \theta )(1-\cos \theta {)}^2$

球台の体積

球台

• 関係する諸数値を以下のものとする（右図参照）。
  • 球台の底の半径 $r_1,r_2$、底の中心を各々$A,B$とする。
  • 球台の高さ（2つの平行な底面間の距離） $h$
  • もとの球の半径 $R$

1. 解法1

   $x^2+y^2+z^2=R^2$である球を考える。

   $x=t$でこの球を切断して得た円;$C$を$x$について、$A(t_1,0,0):B(t_1+h,0,0)$の区間で変化させ累積したものが球台の体積であるから、$x=t$における、円の面積$\pi (R^2-t^2)$を区間$[t_1,t_1+h]$で積分することにより得られる。

   　

   $V=\underset{t_1}{\overset{t_1+h}{\int }}\pi (R^2-t^2)dt$ = $\pi \underset{t_1}{\overset{t_1+h}{\int }}(R^2-t^2)dt$$=\pi \underset{t_1}{\overset{t_1+h}{\int }}(r^2-t^2)dt$$=\pi {[t{R}^2-\frac{t^3}{3}]}_{t_1}^{t_1+h}$$=\frac{\pi }{3}(3(t_1+h)R^2-(t_1+h{)}^3-3t_1{R}^2+{t_1}^3)$$=\frac{\pi h}{3}(3R^2-(t_1+h{)}^2-t_1(t_1+h)-{t_1}^2)$$=\frac{\pi h}{3}(3R^2-{t_1}^2-2h{t}_1-h^2-{t_1}^2-h{t}_1-{t_1}^2)$$=\frac{\pi h}{3}(3R^2-3{t_1}^2-3h{t}_1-h^2)$

   $R^2={t_1}^2+{r_1}^2$であるから、与式$=\frac{\pi h}{3}(3({t_1}^2+{r_1}^2)-3{t_1}^2-3h{t}_1-h^2)$$=\frac{\pi h}{3}(3{r_1}^2-3h{t}_1-h^2)$

   　

   また、$R^2=(t_1+h{)}^2+{r_2}^2$であるから、

   ${t_1}^2+{r_1}^2=(t_1+h{)}^2+{r_2}^2={t_1}^2+2h{t}_1+h^2+{r_2}^2$

   ${r_1}^2=2h{t}_1+h^2+{r_2}^2$

   これを、$t_1$について解くと、$t_1=\frac{{r_1}^2-{r_2}^2-h^2}{2h}$

   これを与式に代入して、与式$=\frac{\pi h}{3}(3{r_1}^2-3h\left(\frac{{r_1}^2-{r_2}^2-h^2}{2h}\right)-h^2)$$=\frac{\pi h}{6}(3{r_1}^2+3{r_2}^2+h^2).$

円環体（トーラス）の体積

円環体・トーラス

半径$r$の円;$C$を、円の中心からの距離$R$（但し、$r$　≦　$R$とする）の直線を軸として回転させた円環体（トーラス、ドーナツ型）

（参考）

• この時、 半径$r$を「小半径」、半径$R$を「大半径」と呼ぶこともある。
• 円環体の内縁部の円の半径$a$と外縁部の円の半径$b$が与えられることもある。この時は、以下の関係を利用し考察。

  $r=\frac{-a+b}{2}$, $R=\frac{a+b}{2}$

円環体の切断図形

(解法)

円;$C$の中心から距離$t$（0≦$t$≦$r$）の位置で、円環体の回転軸に垂直に切り取ると、半径;$R-\sqrt{r^2-t^2}$の円を内側の円;$C_1$とし、半径;$R+\sqrt{r^2-t^2}$の円;$C_2$を外側の円とする図形が得られる。

この図形の面積を$S$とすると、

$S=\pi {(R+\sqrt{r^2-t^2})}^2-\pi {(R-\sqrt{r^2-t^2})}^2=4\pi R\sqrt{r^2-t^2}$

これを、$0\le t\le r$の区間で変化させ累積すると、円環体の1/2の体積;$V_h$が得られる。

$V_h=\underset{0}{\overset{r}{\int }}4\pi R\sqrt{r^2-t^2}dt=4\pi R\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-t^2}dt$

$\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-t^2}dt$ を解く。（置換積分法を利用）

• $t=r\sin \theta$と置く。

$t$を$\theta$で微分すると、$\frac{dt}{d\theta }=r\cos \theta$、$\therefore$　$dt=r\cos \theta d\theta$

• $t=0$の時、$\theta =0$
• $t=r$の時、$\theta =\frac{\pi }{2}$

$\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-t^2}dt=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{r^2-r^2{\sin }^2\theta }\cdot (r\cos \theta )d\theta =r^2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-{\sin }^2\theta }\cdot (\cos \theta )d\theta$

$=r^2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^2\theta d\theta$ ($\because$ $\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\sqrt{{\cos }^2\theta }=|cos\theta |$、$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$であるので、$=cos\theta$)

$=r^2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1+\cos 2\theta }{2}d\theta$ ($\because$ ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$)

$=r^2{[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{r^2\pi }{4}$

$V_h=4\pi R\cdot \frac{r^2\pi }{4}={\pi }^2{r}^{2}R$

$\therefore$　 $V=2{\pi }^2{r}^{2}R=(\pi r^2)(2\pi R)$

後式は、「平面上にある図形$F$の面積を$S$とし、$F$と同じ平面上にあり$F$を通らない軸$l$の周りで$F$を一回転させた回転体の体積を$V$とする。回転させる図形$F$の重心$G$から回転軸$l$までの距離を$R$としたとき、

$V=2\pi RS$

が成り立つ」というパップス＝ギュルダンの定理第二定理と一致している。