初等数学公式集/初等代数/交代式・例題1

$x+\frac{1}{x}=1$であるときの、$x^n+\frac{1}{x^n}$の性質。

　

設問例

$x+\frac{1}{x}=1$であるとき^※1、$x^{2023}+\frac{1}{x^{2023}}$の値を求めよ^※2。

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解法

　

$x+\frac{1}{x}=1$ならば、

$x^2+\frac{1}{x^2}={(x+\frac{1}{x})}^2-2=-1$

$x^3+\frac{1}{x^3}=(x^2+\frac{1}{x^2})(x+\frac{1}{x})-(x+\frac{1}{x})=-1-1=-2$

$x^4+\frac{1}{x^4}=(x^3+\frac{1}{x^3})(x+\frac{1}{x})-(x^2+\frac{1}{x^2})=-2-(-1)=-1$

$x^5+\frac{1}{x^5}=(x^4+\frac{1}{x^4})(x+\frac{1}{x})-(x^3+\frac{1}{x^3})=-1-(-2)=1$

$x^6+\frac{1}{x^6}=(x^5+\frac{1}{x^5})(x+\frac{1}{x})-(x^4+\frac{1}{x^4})=1-(-1)=2$

$x^7+\frac{1}{x^7}=(x^6+\frac{1}{x^6})(x+\frac{1}{x})-(x^5+\frac{1}{x^5})=2-(1)=1$

$x^8+\frac{1}{x^8}=(x^7+\frac{1}{x^7})(x+\frac{1}{x})-(x^6+\frac{1}{x^6})=1-(2)=-1$

$x^9+\frac{1}{x^9}=(x^8+\frac{1}{x^8})(x+\frac{1}{x})-(x^7+\frac{1}{x^7})=-1-(1)=-2$

$x^{10}+\frac{1}{x^{10}}=(x^8+\frac{1}{x^9})(x+\frac{1}{x})-(x^8+\frac{1}{x^8})=-2-(-1)=-1$

$⋮$

となり、$1\to -1\to -2\to -1\to 1\to 2\to 1\to -1\to -2\to -1\dots$と$6$を循環節として循環していることがわかる（予想される（厳密な解答は後述））。

　

$x^n+\frac{1}{x^n}=a_n$として、$6$を循環節とする循環は以下により証明される。

　

$a_n=x^n+\frac{1}{x^n}=(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}})(x+\frac{1}{x})-(x^{n-2}+\frac{1}{x^{n-2}})=a_{n-1}-a_{n-2}$

　

$a_n=a_{n-1}-a_{n-2}=a_{n-2}-a_{n-3}-a_{n-2}=-a_{n-3}=-a_{n-4}+a_{n-5}=-a_{n-5}+a_{n-6}+a_{n-5}=a_{n-6}$

　

$n$を$6$の剰余で場合分けする（$n=6k+m$）と以下のとおりとなる。

$a_{6k+1}=a_1=1$

$a_{6k+2}=a_2=-1$

$a_{6k+3}=a_3=-2$

$a_{6k+4}=a_4=-1$

$a_{6k+5}=a_5=1$

$a_{6k}=a_6(=a_0)=2$

この性質を用いて、設問を解くと、$2023=337\cdot 6+1$であるので、$x^{2023}+\frac{1}{x^{2023}}=1$となる^※3。

　

厳密な解法

条件式;$x+\frac{1}{x}=1$は、$x^2-x+1=0$と変形できる。$(x+1)$をかけると$x^3+1=0$という式が得られる (ただし、$(x+1)$は、便宜的に導入した式なので$x\ne -1$となる)^※1。

すなわち、$x^3=-1(x\ne -1)$となるが、ここで、累乗した値の絶対値が$1$である性質^※3に注目し、$x=\cos \theta +i\sin \theta (-\pi \le \theta \le \pi )$とおいて、ド・モアブルの定理を利用すると、

$x^3=(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3=\cos 3\theta +i\sin 3\theta =-1$となる。

　

$\{\begin{array}{c}\cos 3\theta =-1\\ \sin 3\theta =0\end{array}$ $(-\pi \le \theta \le \pi )$を解いて、$\theta =\frac{\pi }{3},-\frac{\pi }{3}$を得る。

　

$x=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3},\cos (-\frac{\pi }{3})+i\sin (-\frac{\pi }{3})$となる。

　

一方、$\frac{1}{x}=x^{-1}=\cos (-\frac{\pi }{3})+i\sin (-\frac{\pi }{3}),\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$

　

$x^n+\frac{1}{x^n}=(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}{)}^n+(\cos (-\frac{\pi }{3})+i\sin (-\frac{\pi }{3}){)}^n,(\cos (-\frac{\pi }{3})+i\sin (-\frac{\pi }{3}){)}^n+(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}{)}^n$: 同値となる。

　

$=\cos \frac{n\pi }{3}+i\sin \frac{n\pi }{3}+\cos (-\frac{n\pi }{3})+i\sin (-\frac{n\pi }{3})$

　

$=\cos \frac{n\pi }{3}+i\sin \frac{n\pi }{3}+\cos \frac{n\pi }{3}-i\sin \frac{n\pi }{3}=2\cos \frac{n\pi }{3}$

　

$\cos \frac{n\pi }{3}$は、$n$を$6$で割った余りが$\{0,1,2,3,4,5\}$であるとき、$\{1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}$となるため、$x^n+\frac{1}{x^n}$は、$n$を$6$で割った余りが$\{0,1,2,3,4,5\}$であるとき、$\{2,1,-1,-2,-1,1\}$となる^※3。

脚注

1. 惑わせるため、以下のような条件式で提示されることもある。

   $x^3+1=0$ (ただし、$x\ne -1$とする)

2. 入試問題などでこのような大きな数を計算させることはないので、「多分、剰余を使った問題に帰結させるんだな」と予想を立てて解く。
3. と、しかつめらしく解説したが、よく考えれば、$x+\frac{1}{x}=1$より、$x^3+1=0$、すなわち$x^3=-1$、負号を消すため2乗して$x^6=1$が得られるので、指数を6で割った余りで判定すれば足りる問題であった。
4. 条件式が、$x+\frac{1}{x}=-1$、即ち、$x^3=1$ (ただし、$x\ne 1$とする)である類似問題も作れる。とは言え、これも$x^3=1$となるので、指数を3で割った余りで判定すれば足りる問題。