室内音響学の基礎

序章

室内音響を理解するために、3つの理論が使われています。

この理論は、均質なヘルムホルツ方程式 $\nabla^{2} \hat{Φ} + k^{2} \hat{Φ} = 0$ から来ており、平行六面体の単純な形状 (L1,L2,L3) を考えると、この問題の解は分離変数で表されます。

P (x, y, z) = X (x) Y (y) Z (z)

したがって、各関数X、Y、Zはこのような形式をとります。

X (x) = A e^{- i k x} + B e^{i k x}

境界条件 $\frac{\partial P}{\partial x} = 0$ , $x = 0$ , $x = L 1$ (他の方向は同じ) で、圧力の式は以下のようになります。

P (x, y, z) = C \cos (\frac{m π x}{L 1}) \cos (\frac{n π y}{L 2}) \cos (\frac{p π z}{L 3})

k^{2} = {(\frac{m π}{L 1})}^{2} + {(\frac{n π}{L 2})}^{2} + {(\frac{p π}{L 3})}^{2}

（ $m$ , $n$ , $p$ は整数）

これは3次元の定常波です。音響モードはモード周波数とそのモード形態で現れます。非均質問題、すなわち $r_{0}$ に音響源 $Q$ が存在する問題では、最終的な圧力 $r$ は上で述べたすべてのモードの寄与の和となります。

モード密度 $\frac{d N}{d f}$ は、1Hzの範囲に含まれるモード周波数の数です。周波数 $f$ 、部屋の容積 $V$ 、音速 $c_{0}$ に依存します。

\frac{d N}{d f} ≃ \frac{4 π V}{c_{0}^{3}} f^{2}

モード密度は2乗周波数に依存するため、周波数が高くなると急激に増加します。したがって、ある周波数になると、モードは区別されなくなり、モード理論は意味をなさなくなるのです。

容積の大きい部屋や複雑な形状の部屋では、音響幾何学の理論が重要であり、それを適用することができます。波は、音響エネルギーを運ぶ光線でモデル化されます。このエネルギーは、光線が部屋の壁で反射することによって減少します。この現象の理由は、壁の吸収です。

問題は、この理論が非常に高い計算力を必要とすることです。そのため、より簡単なザビーヌの理論が選ばれることが多いのです。

この理論では、拡散場の仮説を用い、音響場は均質で等方的であるとしています。この音場を得るためには、室内に十分な残響があることと、卓越モードの影響を避けるために周波数が十分に高いことが必要です。

室内における音響エネルギーEの変化は、次のように書くことができます。

\frac{d E}{d t} = W_{s} - W_{a b s}

ここで、 $W_{s}$ と $W_{a b s}$ はそれぞれ音響源から発生する電力と壁から吸収される電力を表しています。

吸収される電力は、部屋の体積エネルギーe に関係します。

W_{a b s} = \frac{e c_{0}}{4} a

ここで、a は吸収係数と室内の各材料の面積の積の和で定義される等価吸収面積を表しています。

a = \sum_{i} α_{i} S_{i}

最終的な方程式は: $V \frac{d e}{d t} = W_{s} - \frac{e c_{0}}{4} a$

定常的なエネルギーのレベルは: $e_{s a t} = 4 \frac{W_{a b s}}{a c_{0}}$

この理論に基づき、残響時間を定義することができます。これは、エネルギーレベルが60dB減少するまでの時間の事です。それは、部屋の容積Vと等価吸収面積aに依存します。

T_{60} = \frac{0.16 V}{a}

Sabine formula

この残響時間は室内音響の基本的なパラメータであり、等価吸音面積と周波数に対する吸音係数に依存します。この残響時間はいくつかの測定に利用されています。