初等数学公式集/確率・統計

順列・組合せ

• 異なる$n$個から$r$個を取る順列（Permutation パーミテーション）：

  ${}_n{\mathrm{P}}_r=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$

  • 異なる$n$個から$r$個を取るとき、重複を許す場合の順列（重複順列）：

    $n^r={}_n{\mathrm{\Pi }}_r$

• $n$個のもののうち、$p^1$個は同じもの、$p^2$個は別の同じもの、$p^3$個はさらに別の同じもの、……であるとき、これら$n$個のもの全部で作られる順列:

  $\frac{n!}{p_1!p_2!p_3!\cdots p_k!}$ ただし、$n=p^1+p^2+p^3+\cdots +p^k$

• 異なる$n$個のものを円形に並べる順列（円順列）:

  $(n-1)!$

• 異なる$n$個のものを（時計・反時計回り関係無く）円形に並べる順列（数珠順列） :

  $\frac{(n-1)!}{2}$

• 異なる$n$個から$r$個を取る組合せ（Combination コンビネーション）：

  ${}_n{\mathrm{C}}_r=\frac{n\times (n-1)\times \cdots \times (n-r+1)}{r\times (r-1)\times \cdots \times 1}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

  • 異なる$n$個から$r$個を取るとき、重複を許す場合の組合せ（重複組合せ）：

    ${}_{n+r-1}{\mathrm{C}}_r={}_n{\mathrm{H}}_r$

• ${}_n{C}_r=\frac{{}_n{P}_r}{r!}$
• ${}_n{C}_r{=}_n{C}_{n-r}$
• ${}_n{C}_r{=}_{n-1}{C}_r{+}_{n-1}{C}_{r-1}$
• $r_n{C}_r=n_{n-1}{C}_{r-1}$

確率

• Aが起こらない確率（Aの余事象が起きる確率）$P(\overline{A})$:

  $P(\overline{A})=1-P(A)$

  • $n$回試行して、少なくとも1回はAが起こる確率 - $n$回試行して、1回もAが起こらない事象の余事象

    $P_n(A)=1-(1-P(A){)}^n$

• 条件付き確率 - ある事象 B が起こるという条件の下での別の事象 A の確率:

  $P(A\mid B)$ 又は、 $P_B(A)$

  • 事象Bにかかわらず、事象Aがおこるとき、A,Bは独立と言い、$P(A\mid B)=P(A)$となる。
  • 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこる場合、AはBに完全従属と言い、$P(A\mid B)=1$となる。
  • 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこらない場合、AはBに排反、または、A,Bは排反と言い、$P(A\mid B)=0$となる。
• 事象A,Bが同時に起きる（すなわち積事象$A\cap B$の）確率:

  $P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$

  • 特に事象A,Bが独立、すなわち$P(A\mid B)=P(A)$のとき:

    $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

• 事象AまたはBが起きる（すなわち和事象$A\cup B$の）確率:

  $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

  • 特に事象A, Bが排反、すなわち$P(A\cap B)=0$のとき:

    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

• 確率pで事象Aが起こる試行を独立に$n$回行うとき、事象Aがちょうど$r$回起こる確率(反復試行の確率):

  ${}_n{\mathrm{C}}_r{p}^r(1-p{)}^{n-r}$

統計

平均値・分散・標準偏差

以下、この節では度数分布表の階級値を$x_1,x_2,\cdots ,x_n$とし、それに対応する度数を$f_1,f_2,\cdots ,f_n$、総度数を$n$とする。

• 度数分布表からの平均値$\bar{x}$:

  $\bar{x}=\sum _{k=1}^n{x}_k\frac{f_k}{N}$

  • また、このときの分散$s^2$と標準偏差s:

    $s^2=\sum _{k=1}^n(x_k-\bar{x}{)}^2\frac{f_k}{N}$

    $s=\sqrt{\sum _{k=1}^n(x_k-\bar{x}{)}^2\frac{f_k}{N}}$

• ある階級値を仮平均aとし、階級の幅をc、仮平均からの偏差をcで割った数値を$u_k$とする　(すなわち$u_k=\frac{x_k-a}{c}$ $(k=1,2,\cdots ,n)$)ときの平均値$\bar{x}$:

  $\bar{x}=a+c\bar{u}$　ただし、$\bar{u}=\sum _{k=1}^n{u}_k\frac{f_k}{N}$

  • また、このときの標準偏差s:

    $s=c{s}_u$　ただし、$s_u^2=\sum _{k=1}^n(u_k-\bar{u}{)}^2\frac{f_k}{N}$

• 分散 $V(X)=E[\{X-E(X){\}}^2]$ について、

  $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$

• 標準偏差 $\sigma (X)$について、

  $\sigma (X)=\sqrt{V(x)}$

• 共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[\{X-E(X)\}\{Y-E(Y)\}]$について、

  $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$

• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
• $E(aX)=aE(X)$ (期待値の線形性)
• $V(aX)=a^{2}V(X)$

$X,Y$ の相関係数 $\rho$ について

$\rho =\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma (X)\sigma (Y)}$

確率変数 $X,Y$ に対し、 $P(X<a,Y<b)=P(X<a)P(Y<b)$ が成り立つとき、またそのときに限り、 $X,Y$ は独立であるという。

$X,Y$ が独立のとき

• $E(XY)=E(X)E(Y)$
• $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$
• $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$

確率分布・二項分布

• 確率変数Xが値$x_k$を取りうる確率が$p_k$である確率分布の期待値$E(X)$:

  $E(X)=\sum _{k=1}^n{x}_k{p}_k$

• 二項分布$B(n,p)$について、

  $X\sim B(n,p)⟺P(X=r)={}_n{C}_r{p}^r{q}^{n-r}$

  ただし$q=1-p$である。

• 確率変数$X$が二項分布$B(n,p)$に従う場合の平均値$E(X)$, 分散$V(X)$, 標準偏差$\sigma (X)$:

  $E(X)=np$

  $V(X)=npq$

  $\sigma (X)=\sqrt{npq}$

連続型確率変数・正規分布

• 連続型確率変数の確率密度関数が$f(x)$であるとき、

  $f(x)\nless 0$

  $P(a\leqq X\leqq b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

  $f(x)$の定義域が$[\alpha ,\beta ]⟺\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x)dx=1$

  平均：$\mu =\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}xf(x)dx$

  分散：${\sigma }^2=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}(x-\mu {)}^{2}f(x)dx$

• 平均 $\mu$ ,分散 ${\sigma }^2$ の正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数の確率密度関数 $f(x)$ は $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

• $n$ が十分に大きいとき、$X\sim B(n,p)$ならば近似的に $X\sim N(np,npq)$。
• 確率変数 $X$について$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ のとき、$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$。
  • $p(u)=P(0\leqq Z\leqq u)=P(-u\leqq Z\leqq 0)$
  • $P(-u\leqq Z\leqq u)=2p(u)$
  • $P(Z\leqq 0)=P(Z\geqq 0)=0.5$
  • $P(|Z|\le 1.96)=0.95$
  • $P(|Z|\le 2.58)=0.99$

標本調査

• 大きさNの標本の確率変数Xについて、

  $P(X=x_k)=\frac{f_k}{N}$

• $N=n$のとき

  母平均：$E(X)=\mu$

  母分散：$V(X)={\sigma }^2$

  標本平均：$\bar{X}=\sum _{k=1}^n\frac{x_k}{n}$

  標本分散：$S^2=\sum _{k=1}^n\frac{(X_k-\bar{X}{)}^2}{n}$

• 母標準偏差が不明なとき

  近似的に$\sigma =S$

• 復元抽出の場合

  $E(\bar{X})=\mu$

  $V(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$

• nが十分大きいとき

  近似的に$\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$

• 母集団分布が正規分布のとき

  常に$\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$

• ある特性を持つ要素の個数がTであり、その母比率をpとするとき、

  標本比率：$R=\frac{T}{n}$

  $T\sim B(n,p)$

  近似的に$R\sim N(n,\frac{pq}{n})$

• 母集団の要素の個数がMのとき、

  $\underset{N\to M}{\lim }\bar{X}=\mu$（大数の法則）

区間推定

• 母平均の信頼区間

  信頼度95%：$[\bar{X}-1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{X}+1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}]$

  信頼度99%：$[\bar{X}-2.58\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{X}+2.58\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}]$

• 母比率の信頼区間

  信頼度95%：$[R-1.96\sqrt{\frac{RQ}{n}},R+1.96\sqrt{\frac{RQ}{n}}]$

  信頼度99%：$[R-2.58\sqrt{\frac{RQ}{n}},R+2.58\sqrt{\frac{RQ}{n}}]$

  ただし$Q=1-R$

仮説検定

• 帰無仮説を$H_0$、有意水準を$\alpha$、$H_0$の状況で事象が起こる確率をpとしたとき、

  $p\leqq \alpha$ならば$H_0$を棄却する。

  $p>\alpha$ならば$H_0$を採択する。

• 第一種の過誤が起こる確率Pについて、

  $P=\alpha$