初等数学公式集/解析幾何

平面

2点間の関係

2点A $(a_{1}, b_{1})$ , B $(a_{2}, b_{2})$ において、

距離: $A B = \sqrt{(a_{2} - a_{1})^{2} + (b_{2} - b_{1})^{2}}$
$m : n$ に内分する点 $P$ : $(\frac{m a_{2} + n a_{1}}{m + n}, \frac{m b_{2} + n b_{1}}{m + n})$
$m : n$ $(m \neq n)$ に外分する点 $Q$ : $(\frac{m a_{2} - n a_{1}}{m - n}, \frac{m b_{2} - n b_{1}}{m - n})$

関数のグラフの移動

参照

平行移動

$y = f (x)$ の表すグラフを x軸方向にa、 y軸方向にb移動したときのグラフを表す式： $y - b = f (x - a)$

対称移動

$y = f (x)$ の表すグラフを x軸に関して対称移動したときのグラフを表す式（x軸対称）： $y = - f (x)$
　
$y = f (x)$ の表すグラフを y軸に関して対称移動したときのグラフを表す式（y軸対称）： $y = f (- x)$
　
$y = f (x)$ の表すグラフを原点に関して対称移動したときのグラフを表す式（原点対称）： $y = - f (- x)$
　
$y = f (x)$ の表すグラフを直線 $y = x$ に関して対称移動したときのグラフを表す式： $x = f (y)$
　
$f (x)$ の逆関数を $f^{- 1} (x)$ と表す場合: $y = f^{- 1} (x)$

　
$y = f (x)$ の表すグラフを直線 $x = m$ に関して対称移動したときのグラフを表す式： $2 n - y = f (x)$
　
$y = f (x)$ の表すグラフを直線 $y = n$ に関して対称移動したときのグラフを表す式： $y = f (2 m - x)$
　
$y = f (x)$ の表すグラフを点 $(m, n)$ に関して対称移動したときのグラフを表す式： $2 n - y = f (2 m - x)$

その他

$y = f (x)$ の表すグラフを原点中心にθだけ回転移動したときのグラフを表す式： $- x \sin θ + y \cos θ = f (x \cos θ + y \sin θ)$
　
a,bともに正として、y=f(x)の表すグラフを、x軸方向にa倍、y軸方向にb倍だけ拡大（a<1,b<1のとき縮小）したときのグラフを表す式： yb=f(xa)
　
- $\frac{y}{b} = - f (\frac{x}{a})$ ; $\frac{y}{b} = f (\frac{x}{a})$ をx軸対称移動。
　
- $\frac{y}{b} = f (- \frac{x}{a})$ ; $\frac{y}{b} = f (\frac{x}{a})$ をy軸対称移動。
　
- $\frac{y}{b} = - f (- \frac{x}{a})$ ; $\frac{y}{b} = f (\frac{x}{a})$ を原点対称移動。

直線

2点 (a1,b1), (a2,b2) を通る直線の式：
$y = \frac{b_{2} - b_{1}}{a_{2} - a_{1}} (x - a_{1}) + b_{1}$
- 2点 $x$ 切片 $(a, 0)$ , $y$ 切片 $(0, b)$ （但し、ab≠0とする）を通る直線の式：
  $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
点 (x0,y0) を通り、傾き c の直線の式：
$y - y_{0} = c (x - x_{0})$
- 傾き c を方向ベクトル(a,b)と捉えると：
  $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b}$
  - 直線とx軸が成す角をθとする。
    この時、 $c = \tan θ$ であり、方向ベクトルは $(1, \tan θ) = (\cos θ, \sin θ)$ と捉えられる、
    
    したがって、点 $(x_{0}, y_{0})$ を通り、傾きの角度が $θ$ である直線の式：
    $y - y_{0} = (x - x_{0}) \tan θ$
    
    $\Leftrightarrow (x - x_{0}) \sin θ = (y - y_{0}) \cos θ$
    - 特に原点 $O$ $(0, 0)$ を通る場合
      $y = x \tan θ \Leftrightarrow x \sin θ = y \cos θ \Leftrightarrow x \sin θ - y \cos θ = 0$
点 $P$ (x0,y0)と直線ax+by+c=0との距離l:
$l$ 　= $\frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$
- 特に原点 $O$ (0,0)と直線ax+by+c=0（ax+by=−c）との距離l0:
  $l_{0}$ 　= $\frac{| c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$
  - 原点 $O$ $(0, 0)$ と2点 $x$ 切片 $(a, 0)$ , $y$ 切片 $(0, b)$ （但し、ab≠0とする）を通る直線: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ との距離 $l_{0}$ :
    $l_{0}$ 　= $\frac{| a b |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

平均変化率

xをaからbまで変化させたときの関数 $f (x)$ の変化の割合（平均変化率）:
$\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

接線の方程式

関数 $f (x)$ のグラフ上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線:
$y - y_{1} = f^{'} (x) (x - x_{1})$
関数 $f (x)$ のグラフ上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における法線:
$y - y_{1} = - \frac{1}{f^{'} (x)} (x - x_{1})$

二次曲線

円

原点(0,0)を中心とする、半径rの円Oの方程式（標準形）：
$O : x^{2} + y^{2} = r^{2}$
- 上記円 $O$ を、 $(a, b)$ 移動させた、半径rの円 $O_{1}$ の方程式
  $O_{1} : (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ , 中心座標 $(a, b)$
円の方程式の一般形
$x^{2} + y^{2} + h x + k y + c = 0$ 　ただし、 $h^{2} + k^{2} - 4 c > 0$ 。
円Oについて一般角θを用いた媒介変数表示
- $x = r \cos θ$
- y=rsin⁡θ
  円O1について一般角θを用いた媒介変数表示
  - $x = r \cos θ + a$
  - $y = r \sin θ + b$
円 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上の点 $P$ $(x_{1}, y_{1})$ における接線：
$x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ （参考）

楕円

楕円の標準形: x2a2+y2b2=1 (a≠b)
上記楕円の、 $x$ 軸、 $y$ 軸との交点を、 $A, A^{'}, B, B^{'}$ とすると、
$A : (a, 0), A^{'} : (- a, 0), B : (0, b), B^{'} : (0, - b)$ 、 $A A^{'}, B B^{'}$ の長い方を長軸、短い方を短軸という。長軸と短軸を合わせて主軸という

$A A^{'}, B B^{'}$ は、 $O : (0, 0)$ で垂直に交わる。点 $O$ を楕円の中心、点 $A, A^{'}, B, B^{'}$ を楕円の頂点という。中心を通る弦を直径という。
直径: $d = 2 \sqrt{b^{2} + (1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}) x^{2}}$ $= 2 \sqrt{a^{2} + (1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}) y^{2}}$
- 上記楕円の一般角θを用いた媒介変数表示
  - $x = a \cos θ$
  - $y = b \sin θ$

2定点F:(k,0),F′:(−k,0)までの距離の和:FP+F′Pが一定値:2aである点Pの軌跡は以下の式となる（なお、0<k<a）。
x2a2+y2a2−k2=1
これは、 $A : (a, 0), A^{'} : (- a, 0), B : (0, \sqrt{a^{2} - k^{2}}), B^{'} : (0, - \sqrt{a^{2} - k^{2}})$ 、 $A A^{'}$ を長軸、 $B B^{'}$ を短軸とする楕円である。

この時、 $F : (k, 0), F^{'} : (- k, 0)$ を楕円の焦点という。
2焦点を通る直径を長軸、2焦点の垂直二等分線である直径を短軸と定義できる。
標準形: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ の焦点:
$a > b$ ならば、 $F : (\sqrt{a^{2} - b^{2}}, 0), F^{'} : (- \sqrt{a^{2} - b^{2}}, 0)$

$a < b$ ならば、 $F : (0, \sqrt{b^{2} - a^{2}}), F^{'} : (0, - \sqrt{b^{2} - a^{2}})$
楕円: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線:
$\frac{x_{1} x}{a^{2}} + \frac{y_{1} y}{b^{2}} = 1$ （参考）

放物線

グラフが点 $(p, q)$ を頂点とし，2次の項の係数が $a$ である二次関数の式：
$y = a (x - p)^{2} + q$
グラフが点 $(p, q)$ を頂点とし，点 $(a, b)$ を通る二次関数の式：
$y = \frac{b - q}{(a - p)^{2}} (x - p)^{2} + q$
二次関数 $y = a x^{2} + b x + c$ のグラフの頂点：
$(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a})$
グラフが2点 $(a_{1}, b_{1})$ , $(a_{2}, b_{2})$ を通り，2次の項の係数が $c$ である二次関数の式：
$y = c (x - a_{1}) (x - a_{2}) + \frac{b_{2} - b_{1}}{a_{2} - a_{1}} (x - a_{1}) + b_{1}$
グラフが3点 $(a_{1}, b_{1})$ , $(a_{2}, b_{2})$ , $(a_{3}, b_{3})$ を通る二次関数の式：
$y = b_{1} \frac{(x - a_{2}) (x - a_{3})}{(a_{1} - a_{2}) (a_{1} - a_{3})} + b_{2} \frac{(x - a_{3}) (x - a_{1})}{(a_{2} - a_{3}) (a_{2} - a_{1})} + b_{3} \frac{(x - a_{1}) (x - a_{2})}{(a_{3} - a_{1}) (a_{3} - a_{2})}$

点 $P$ について、定点 $F$ と $F$ を通らない直線 $L$ 上の点で $P$ と距離をなす $Q$ に関して、 $F P = P Q$ であるときの点 $P$ の軌跡は放物線となる。この時、定点 $F$ を焦点、直線 $L$ を準線という。
$P$ : $(x, y)$ 、焦点を $F$ : $(0, a)$ 、準線の式を $y = - a$ とすると $F P = P Q$ より
$\sqrt{x^{2} + (a - y)^{2}} = y + a$

$x^{2} + a^{2} - 2 a y + y^{2} = y^{2} + 2 a y + a^{2}$

$x^{2} = 4 a y$

$y = \frac{x^{2}}{4 a}$
$y = a x^{2}$ の焦点 $F$ : $(0, \frac{1}{4 a})$ 、準線: $y = - \frac{1}{4 a}$
放物線: $y^{2} = 4 p x$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線:
$y_{1} y = 2 p (x + x_{1})$

双曲線

双曲線の標準形: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $x$ 軸対称、右図青色で示されるもの）
上記双曲線の漸近線: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0, \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$
特に、a=bである時、この2つの漸近線は直行し、この双曲線を特に直角双曲線という。
直角双曲線: $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ について $\frac{π}{4}$ 回転させると、
$X = x \cos \frac{π}{4} - y \sin \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} (x - y)$ , $Y = x \sin \frac{π}{4} + y \cos \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} (x + y)$

$x - y = X \sqrt{2}$ , $x + y = Y \sqrt{2}$

$∴ X Y = \frac{a^{2}}{2}$ 、即ち、 $Y = \frac{a^{2}}{2 X}$ となり、反比例のグラフとなることがわかる。
双曲線: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線:
$\frac{x_{1} x}{a^{2}} - \frac{y_{1} y}{b^{2}} = 1$
一般角θを用いた媒介変数表示
- $x = \frac{a}{\cos θ}$
- $y = b \tan θ$

2定点F1:(k,0),F2:(−k,0)までの距離の差:|F1P−F2P|が一定値:2aである点Pの軌跡は以下の式となる。
x2a2−y2k2−a2=1
$△ P F_{1} F_{2}$ において、 $| F_{1} P - F_{2} P | < F_{1} F_{2}$ なので、 $a < k$ 。従って、 $k^{2} - a^{2} > 0$ であり、 $k^{2} - a^{2} = b^{2}$ と置くことができ、この軌跡は、双曲線であることがわかる。

この時、 $F_{1} : (k, 0), F_{2} : (- k, 0)$ を双曲線の焦点といい、焦点を結ぶ直線を主軸（上記の場合、 $x$ 軸: $y = 0$ ）という。

双曲線と主軸の交点を求めると、 $y = 0, x = \pm a$ 、交点は $V_{1} : (a, 0), V_{2} : (- a, 0)$ となり、これらを、双曲線の頂点、頂点の中点を双曲線の中心という。
- 標準形: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ の焦点:
  $F : (\sqrt{a^{2} + b^{2}}, 0), F^{'} : (- \sqrt{a^{2} + b^{2}}, 0)$

離心率

座標平面上に定点F $(c, 0)$ と定直線 $L : x = 0$ をとる。点P $(x, y)$ からLに下ろした垂線の足をHとする。

離心率 $ε = \frac{\overline{P F}}{\overline{P H}}$
Fは二次曲線の焦点、Lは準線である。

PF‾:PH‾=ε:1を満たす点Pの軌跡は、
- ε=0ならば、Fを中心とする真円
- 0<ε<1ならば、Fを焦点の一つとする楕円
- ε=1ならば、Fを焦点・Lを準線とする放物線
- ε>1ならば、Fを焦点の一つとする双曲線
- ε→∞のとき、Fに限りなく近い点を通る直線

扁平率
- 扁平率 $f$ は $ε^{2} = f (2 - f)$ の解。

反射定理

放物線の軸に平行に進む光線は、放物線に当たって反射すると全て焦点に集まる。
楕円の焦点から発した光線は、楕円に当たって反射すると全てもう一方の焦点に集まる。
双曲線の焦点に向かって進む光線は、双曲線に当たって反射すると全てもう一方の焦点に集まる。

その他の図形

原点O・点 $A (x_{a}, y_{a})$ ・点 $B (x_{b}, y_{b})$ を結んでできる三角形OABの面積S:
$S = \frac{1}{2} | y_{0} | | x_{a} - x_{b} | = \frac{1}{2} | x_{0} | | y_{a} - y_{b} |$

ただし $x_{0}, y_{0}$ はそれぞれ直線ABのx切片・y切片。

または $S = \frac{| x_{a} y_{b} - x_{b} y_{a} |}{2}$ （サラスの公式）

2次関数( $y = a x^{2}$ )上の3点 $A (x_{a}, y_{a})$ ・ $B (x_{b}, y_{b})$ ・ $C (x_{c}, y_{c})$ を結んで出来る三角形ABCの面積S:
$x_{a} - x_{b} = l$ , $x_{b} - x_{c} = m$ , $x_{c} - x_{a} = n$ とすると、

$S = \frac{| a l m n |}{2}$

三次元空間

2点A $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ , B $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ 間の距離：

$A B = \sqrt{(a_{2} - a_{1})^{2} + (b_{2} - b_{1})^{2} + (c_{2} - c_{1})^{2}}$

直線の式

点 (x0,y0,z0) を通り、方向ベクトルが(a,b,c)である直線の式：
$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$
- 2点 $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ , $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ を通る直線の式：
  $\frac{x - a_{1}}{a_{2} - a_{1}} = \frac{y - b_{1}}{b_{2} - b_{1}} = \frac{z - c_{1}}{c_{2} - c_{1}}$

平面の式

一般式
$a x + b y + c z + d = 0$
なお、 $d \neq 0$ である時、 $a x + b y + c z = 1$ と表せる。

また、 $d = 0$ ならば、 $a x + b y + c z = 0$ であり、原点 $O (0, 0, 0)$ を含む平面となる。
- 点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ を通り、法線ベクトルが $(a, b, c)$ である平面の式：
  $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$
- 3点 $x$ 切片 $(a, 0, 0)$ , $y$ 切片 $(0, b, 0)$ , $z$ 切片 $(0, 0, c)$ （ただし $a b c \neq 0$ とする）を通る平面の式：
  $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$
- 同一直線上にない3点 $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ , $(x_{3}, y_{3}, z_{3})$ を通る平面の式：
  $a x + b y + c z = Δ$
  
  ただし、
  $a = y_{2} z_{3} - y_{3} z_{2} - y_{1} z_{3} + y_{3} z_{1} + y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}$
  
  $b = - x_{2} z_{3} + x_{3} z_{2} + x_{1} z_{3} - x_{3} z_{1} - x_{1} z_{2} + x_{2} z_{1}$
  
  $c = x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2} - x_{1} y_{3} + x_{3} y_{1} + x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$
  
  $Δ = x_{1} y_{2} z_{3} + x_{2} y_{3} z_{1} + x_{3} y_{1} z_{2} - x_{1} y_{3} z_{2} - x_{2} y_{1} z_{3} - x_{3} y_{2} z_{1}$
  
  ※通常は、 $a x + b y + c z = 1$ 　.or.　 $0$ に代入して、三元一次方程式を解く。その結果をクラメルの公式を用いて表したのが上記。

点 $P$ $(p, q, r)$ と平面 $a x + b y + c z + d = 0$ の距離 $l$ :
$l$ 　= $\frac{| a p + b q + c r + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

平面と直線との交点
- 平面Π:ax+by+cz+d=0　と直線l:x−x0p=y−y0q=z−z0r　との交点。
  （解法）
  直線上の点をパラメータ $t$ で表すと $(p t + x_{0}, q t + y_{0}, r t + z_{0})$
  
  これを、平面の式に代入し、 $t$ について解くと、 $t$ 　= $- \frac{a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d}{a p + b q + c r}$ が得られる。これを、直線の式に代入し交点を求める（代入の結果は割愛）。
  - なお、ap+bq+cr=0　かつ ax0+by0+cz0+d≠0 ならば、平面Πと直線lは交点を有さない。
    - この時の平面 $Π$ と直線 $l$ との距離は、
      $\frac{| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$
  - また、 $a p + b q + c r = 0$ 　かつ $a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d = 0$ ならば、直線 $l$ は平面 $Π$ 上にある。
  $a p + b q + c r$ は、平面 $Π$ の法線ベクトル $(a, b, c)$ と直線 $l$ の方向ベクトル $(p, q, r)$ との内積であり、この値が $0$ であるということは、これらが直行していることを意味し、直線が平面と交わらないか、平面上にあることとなる。

2平面の交差
- 平面 $Π_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0$ 　と平面 $Π_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0$ とが交わる時、二面角を $φ$ (ただし、 $0 \leq φ \leq π / 2 .$ )とすると、以下の式が成立する。
  $\cos φ = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$

2平面の交線
- 平面Π1:a1x+b1y+c1z+d1=0　と平面Π2:a2x+b2y+c2z+d2=0とが交線として直線l:x−x0p=y−y0q=z−z0rを有するとき、以下の関係が成立。
  1. 平面1及び平面2が交線を有する条件: 平面が一致ないし平行ではない。
    したがって、平面 $Π_{1}$ 　と平面 $Π_{2}$ の各々の法線ベクトル: $\vec{n_{1}}$ , $\vec{n_{2}}$ について、 $\vec{n_{1}} \neq k \vec{n_{2}}$ ( $k \neq 0$ )
    二面角を $φ$ として、 $\cos φ \neq 1$ 。
  2. 直線 $l$ の方向ベクトル: $\vec{m} = (p, q, r)$ は、法線ベクトル: $\vec{n_{1}} = (a_{1}, b_{1}, c_{1})$ , $\vec{n_{2}} = (a_{2}, b_{2}, c_{2})$ と直行する。
    そのような、ベクトル: $\vec{m}$ の一つとして、各々の成分が以下のものが存在する。
    $p = b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}$
    
    $q = - a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}$
    
    $r = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$
  3. 直線l上の点(x0,y0,z0)は、以下の等式を満たす。
    $a_{1} x_{0} + b_{1} y_{0} + c_{1} z_{0} + d_{1} = 0$
    
    $a_{2} x_{0} + b_{2} y_{0} + c_{2} z_{0} + d_{2} = 0$
    
    $z_{0} = 0$ と置くなどして方程式を解き、 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ を一意に決めることができる。
  4. 上記2. 3.により直線 $l : \frac{x - x_{0}}{p} = \frac{y - y_{0}}{q} = \frac{z - z_{0}}{r}$ の式を得ることができる。

球面の式

中心座標 $(a, b, c)$ 、半径rの球の方程式（標準形）：
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}$
球面: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}$ 上の点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ で接する平面
$(a - x_{0}) (x - x_{0}) + (b - y_{0}) (y - y_{0}) + (c - z_{0}) (z - z_{0}) = 0$

初等数学公式集/解析幾何

目次

平面

2点間の関係

関数のグラフの移動

平行移動

対称移動

その他

直線

平均変化率

接線の方程式

二次曲線

円

楕円

放物線

双曲線

離心率

反射定理

その他の図形

三次元空間

直線の式

平面の式

球面の式

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