統計学基礎/確率分布/連続変数

一様分布

• 確率密度関数

$\alpha ,\beta$を$\alpha <\beta$を満たす定数とする。$\alpha \le x\le \beta$を満たす$x$に対し、

$f(x)=\frac{1}{\beta -\alpha }$

と定める。このとき、

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{1}{\beta -\alpha }dx={\left[\frac{1}{\beta -\alpha }x\right]}_{\alpha }^{\beta }=1$

を満たすので、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、一様分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

$\begin{array}{cc}E(X)& =\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{1}{\beta -\alpha }xdx\\ & ={\left[\frac{1}{2(\beta -\alpha )}{x}^2\right]}_{\alpha }^{\beta }\\ & =\frac{{\beta }^2-{\alpha }^2}{2(\beta -\alpha )}\\ & =\frac{(\beta -\alpha )(\beta +\alpha )}{2(\beta -\alpha )}\\ & =\frac{\beta +\alpha }{2}\\ \end{array}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

$\begin{array}{cc}V(X)& =\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{1}{\beta -\alpha }{x}^{2}dx-{\left(\frac{\beta +\alpha }{2}\right)}^2\\ & ={\left[\frac{1}{3(\beta -\alpha )}{x}^3\right]}_{\alpha }^{\beta }-{\left(\frac{\beta +\alpha }{2}\right)}^2\\ & =\frac{{\beta }^2+\beta \alpha +{\alpha }^2}{3}-\frac{{\beta }^2+2\beta \alpha +{\alpha }^2}{4}\\ & =\frac{{\beta }^2-2\beta \alpha +{\alpha }^2}{12}\\ & =\frac{(\beta -\alpha {)}^2}{12}\end{array}$

である。

正規分布

• 確率密度関数

実数$x$に対し、

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

と定める。このとき

$I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

とすると

$I^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy$

であり、$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$と極座標変換すると$dxdy=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|drd\theta =rdrd\theta$なので、

$\begin{array}{cc}{I}^2& =\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{r^2}{2}}rdr\right)d\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\left({[-e^{-\frac{r^2}{2}}]}_0^{\mathrm{\infty }}\right)d\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta \\ & =1\end{array}$

である。$I>0$であることと併せて、$I=1$であることがわかる。すなわち、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、（標準）正規分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

$\begin{array}{cc}E(X)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{[-e^{-\frac{x^2}{2}}]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\\ & =0\end{array}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

$\begin{array}{cc}V(X)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{[-x{e}^{-\frac{x^2}{2}}]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx\\ & =1\end{array}$

である。

ガンマ分布

• 確率密度関数

$k,\lambda$を正の定数とする。正の数$x$に対し、

$f(x)=\frac{{\lambda }^k}{\mathrm{\Gamma }(k)}{x}^{k-1}{e}^{-\lambda x}$

と定める。ただし、$\mathrm{\Gamma }(k)$はガンマ関数である。このとき、

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\lambda }^k}{\mathrm{\Gamma }(k)}{x}^{k-1}{e}^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(k)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\lambda x{)}^{k-1}{e}^{-\lambda x}\lambda dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(k)}{\mathrm{\Gamma }(k)}=1$

であるから、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ガンマ分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

$\begin{array}{cc}E(X)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\lambda }^k}{\mathrm{\Gamma }(k)}{x}^k{e}^{-\lambda x}dx\\ & ={[-\frac{{\lambda }^{k-1}}{\mathrm{\Gamma }(k)}{x}^k{e}^{-\lambda x}]}_0^{\mathrm{\infty }}+\frac{k}{\lambda \mathrm{\Gamma }(k)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\lambda x{)}^{k-1}{e}^{-\lambda x}\lambda dx\\ & =\frac{k}{\lambda }\end{array}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

$\begin{array}{cc}V(X)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\lambda }^k}{\mathrm{\Gamma }(k)}{x}^{k+1}{e}^{-\lambda x}dx-{\left(\frac{k}{\lambda }\right)}^2\\ & ={[-\frac{{\lambda }^{k-1}}{\mathrm{\Gamma }(k)}{x}^{k+1}{e}^{-\lambda x}]}_0^{\mathrm{\infty }}+\frac{(k+1){\lambda }^{k-1}}{\mathrm{\Gamma }(k)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^k{e}^{-\lambda x}dx-\frac{k^2}{{\lambda }^2}\\ & ={[-\frac{(k+1){\lambda }^{k-2}}{\mathrm{\Gamma }(k)}{x}^k{e}^{-\lambda x}]}_0^{\mathrm{\infty }}+\frac{k(k+1)}{{\lambda }^2\mathrm{\Gamma }(k)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\lambda x{)}^{k-1}{e}^{-\lambda x}\lambda dx-\frac{k^2}{{\lambda }^2}\\ & =\frac{k(k+1)}{{\lambda }^2}-\frac{k^2}{{\lambda }^2}\\ & =\frac{k}{{\lambda }^2}\end{array}$

である。

ベータ分布

• 確率密度関数

$a.b$を正の定数とする。$0\le x\le 1$を満たす$x$に対し、

$f(x)=\frac{x^{a-1}(1-x{)}^{b-1}}{\mathrm{B}(a,b)}$

と定める。ただし、$\mathrm{B}(a,b)$はベータ関数である。このとき、

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{a-1}(1-x{)}^{b-1}}{\mathrm{B}(a,b)}dx=\frac{\mathrm{B}(a,b)}{\mathrm{B}(a,b)}=1$

であるから、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ベータ分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

$\begin{array}{cc}E(X)& =\frac{1}{\mathrm{B}(a,b)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^a(1-x{)}^{b-1}dx\\ & ={[-\frac{1}{b\mathrm{B}(a,b)}{x}^a(1-x{)}^b]}_0^1+\frac{a}{b\mathrm{B}(a,b)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b}dx\\ & =\frac{a}{b\mathrm{B}(a,b)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^{a-1}(1-x{)}^{b-1}-x^a(1-x{)}^{b-1})dx\\ & =\frac{a}{b\mathrm{B}(a,b)}(\mathrm{B}(a,b)-\mathrm{B}(a,b)E(X))\\ & =\frac{a}{b}(1-E(X))\end{array}$

であるから、これを整理すると

$E(X)=\frac{a}{a+b}$

が得られる。

• 分散

分散V(X)は、

$\begin{array}{cc}V(X)& =\frac{1}{\mathrm{B}(a,b)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{a+1}(1-x{)}^{b-1}dx-{\left(\frac{a}{a+b}\right)}^2\\ & ={[-\frac{1}{b\mathrm{B}(a,b)}{x}^{a+1}(1-x{)}^b]}_0^1+\frac{a+1}{b\mathrm{B}(a,b)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^a(1-x{)}^{b}dx-\frac{a^2}{(a+b{)}^2}\\ & =\frac{a+1}{b\mathrm{B}(a,b)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^a(1-x{)}^{b-1}-x^{a+1}(1-x{)}^{b-1})dx-\frac{a^2}{(a+b{)}^2}\\ & =\frac{a+1}{b\mathrm{B}(a,b)}(\frac{a\mathrm{B}(a,b)}{a+b}-\mathrm{B}(a,b)(V(X)+\frac{a^2}{(a+b{)}^2}))-\frac{a^2}{(a+b{)}^2}\\ & =\frac{a(a+1)(a+b)-a^2(a+1)-a^{2}b}{b(a+b{)}^2}-\frac{a+1}{b}V(X)\\ & =\frac{a}{(a+b{)}^2}-\frac{a+1}{b}V(X)\\ \end{array}$

であるから、これを整理すると

$V(X)=\frac{ab}{(a+b+1)(a+b{)}^2}$

が得られる。

指数分布

• 確率密度関数

$\lambda$を正の定数とする。正の数$x$に対し、

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$

と定めると、

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\lambda e^{-\lambda x}dx={[-e^{-\lambda x}]}_0^{\mathrm{\infty }}=1$

なので、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、指数分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

$\begin{array}{cc}E(X)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\lambda x{e}^{-\lambda x}dx\\ & ={[-x{e}^{-\lambda x}]}_0^{\mathrm{\infty }}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\lambda x}dx\\ & ={[-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda x}]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{1}{\lambda }\end{array}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

$\begin{array}{cc}V(X)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\lambda x^2{e}^{-\lambda x}dx-\frac{1}{{\lambda }^2}\\ & ={[-x^2{e}^{-\lambda x}]}_0^{\mathrm{\infty }}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2x{e}^{-\lambda x}dx-\frac{1}{{\lambda }^2}\\ & =\frac{2}{\lambda }\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^2}\\ & =\frac{1}{{\lambda }^2}\end{array}$

である。

カイ二乗分布

• 確率密度関数

$k$を正整数の定数とする。正の数$x$に対し、

$f(x)=\frac{x^{\frac{k}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}$

と定める。ただし、$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)$はガンマ関数である。このとき、

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{\frac{k}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}dx=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\frac{k}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}\frac{1}{2}dx=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}=1$

なので、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、カイ二乗分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

$\begin{array}{cc}E(X)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{\frac{k}{2}}{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}dx\\ & ={[-\frac{x^{\frac{k}{2}}{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}]}_0^{\mathrm{\infty }}+\frac{k}{2^{\frac{k}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\frac{k}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}dx\\ & =\frac{k}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\frac{k}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}\frac{1}{2}dx\\ & =\frac{k\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}\\ & =k\end{array}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

$\begin{array}{cc}V(X)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{\frac{k}{2}+1}{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}dx-k^2\\ & ={[-\frac{x^{\frac{k}{2}+1}{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}]}_0^{\mathrm{\infty }}+\frac{\frac{k}{2}+1}{2^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\frac{k}{2}}{e}^{-\frac{x}{2}}dx-k^2\\ & =(k+2)E(X)-k^2\\ & =(k+2)k-k^2\\ & =2k\end{array}$

である。

t分布

• 確率密度関数

$n$を4以上の自然数とする。実数$x$に対して、

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{n-1}}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}{(1+\frac{x^2}{n-1})}^{-\frac{n}{2}}$

と定める。ただし、$\mathrm{\Gamma }$はガンマ関数である。このとき、$x=\sqrt{n-1}\tan \theta$と置換すると$dx=\frac{\sqrt{n-1}}{{\cos }^2\theta }d\theta$なので、

$\begin{array}{cc}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sqrt{n-1}}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}{(1+\frac{x^2}{n-1})}^{-\frac{n}{2}}dx& =\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1}{\sqrt{n-1}}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}(1+{\tan }^2\theta {)}^{-\frac{n}{2}}\frac{\sqrt{n-1}}{{\cos }^2\theta }d\theta \\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n-2}\theta d\theta \\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n-2}\theta d\theta \\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\\ & =1\end{array}$

である。ただし、途中補遺で導いた式

$\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(a+b)}=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2a-1}\theta {\cos }^{2b-1}\theta d\theta$

で$a=\frac{1}{2},b=\frac{n-1}{2}$とした式を用いた。この計算より、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、t分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

$\begin{array}{cc}E(X)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sqrt{n-1}}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}x{(1+\frac{x^2}{n-1})}^{-\frac{n}{2}}dx\\ & ={\left[\frac{\sqrt{n-1}}{2-n}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}{(1+\frac{x^2}{n-1})}^{1-\frac{n}{2}}\right]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\\ & =0\end{array}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

$\begin{array}{cc}V(X)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sqrt{n-1}}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}{x}^2{(1+\frac{x^2}{n-1})}^{-\frac{n}{2}}dx\\ & =\frac{2}{\sqrt{n-1}}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{(1+\frac{x^2}{n-1})}^{-\frac{n}{2}}dx\end{array}$

である。ここで、$1+\frac{x^2}{n-1}=u^{-1}$とおくと、$x=\sqrt{\frac{(n-1)(1-u)}{u}}$であり、$\frac{2x}{n-1}dx=-u^{-2}du$より$dx=-\frac{\sqrt{n-1}}{2}{u}^{-\frac{3}{2}}(1-u{)}^{-\frac{1}{2}}du$である。また、$u{|}_{x=0}=1,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }u=0$である。よって、

$\begin{array}{cc}V(X)& =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{(n-1)(1-u)}{u}{u}^{\frac{n}{2}}{u}^{-\frac{3}{2}}(1-u{)}^{-\frac{1}{2}}du\\ & =\frac{(n-1)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{\frac{n-5}{2}}(1-u{)}^{\frac{1}{2}}du\\ & =\frac{(n-1)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}\mathrm{B}(\frac{n-3}{2},\frac{3}{2})\\ & =(n-1)\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-3}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}\\ & =(n-1)\frac{1}{2}\frac{2}{n-3}\\ & =\frac{n-1}{n-3}\\ \end{array}$

である。ただし、途中補遺で導いた式

$\mathrm{B}(a,b)=\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(a+b)}$

で$a=\frac{n-3}{2},b=\frac{3}{2}$とした式を用いた。

F分布

• 確率密度関数

$d_1,d_2$を正整数の定数とし、特に$d_2$は4より大きいとする。正の数$x$に対し、

$f(x)=\frac{1}{x\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}{\left(\frac{d_{1}x}{d_{1}x+d_2}\right)}^{\frac{d_1}{2}}{(1-\frac{d_{1}x}{d_{1}x+d_2})}^{\frac{d_2}{2}}$

と定める。ただし、$\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})$はベータ関数である。

このとき、$t=\frac{d_{1}x}{d_{1}x+d_2}$と置くと、$t{|}_{x=0}=0,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }t=1$であり、$dt=\frac{d_1{d}_2}{(d_{1}x+d_2{)}^2}dx=\frac{t(1-t)}{x}dx$であることに注意すると、

$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}{\left(\frac{d_{1}x}{d_{1}x+d_2}\right)}^{\frac{d_1}{2}}{(1-\frac{d_{1}x}{d_{1}x+d_2})}^{\frac{d_2}{2}}dx\\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{\frac{d_1}{2}-1}(1-t{)}^{\frac{d_2}{2}-1}dt\\ & =\frac{\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}{\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}\\ & =1\end{array}$

なので、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、F分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

$E(X)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}{\left(\frac{d_{1}x}{d_{1}x+d_2}\right)}^{\frac{d_1}{2}}{(1-\frac{d_{1}x}{d_{1}x+d_2})}^{\frac{d_2}{2}}dx$

である。ここで、先ほどの置換をすると

$x=\frac{d_{2}t}{d_1(1-t)}$

であることに注意すると、

$\begin{array}{cc}E(X)& =\frac{d_2}{d_1\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{\frac{d_1}{2}}(1-t{)}^{\frac{d_2}{2}-2}dt\\ & =-\frac{d_2}{d_1(\frac{d_2}{2}-1)\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}{[t^{\frac{d_1}{2}}(1-t{)}^{\frac{d_2}{2}-1}]}_0^1+\frac{d_2}{(d_2-2)\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{\frac{d_1}{2}-1}(1-t{)}^{\frac{d_2}{2}-1}dt\\ & =\frac{d_2\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}{(d_2-2)\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}\\ & =\frac{d_2}{d_2-2}\end{array}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

$V(X)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}{\left(\frac{d_{1}x}{d_{1}x+d_2}\right)}^{\frac{d_1}{2}}{(1-\frac{d_{1}x}{d_{1}x+d_2})}^{\frac{d_2}{2}}dx-{\left(\frac{d_2}{d_2-2}\right)}^2$

である。同様に、先ほどの置換をすると

$\begin{array}{cc}V(X)& =\frac{d_2^2}{d_1^2\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{\frac{d_1}{2}+1}(1-t{)}^{\frac{d_2}{2}-3}dt-{\left(\frac{d_2}{d_2-2}\right)}^2\\ & =-\frac{d_2^2}{d_1^2(\frac{d_2}{2}-2)\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}{[t^{\frac{d_1}{2}+1}(1-t{)}^{\frac{d_2}{2}-2}]}_0^1+\frac{d_2^2(\frac{d_1}{2}+1)}{d_1^2(\frac{d_2}{2}-2)\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{\frac{d_1}{2}}(1-t{)}^{\frac{d_2}{2}-2}dt-{\left(\frac{d_2}{d_2-2}\right)}^2\\ & =\frac{d_2(d_1+2)}{d_1(d_2-4)}\frac{d_2}{d_2-2}-{\left(\frac{d_2}{d_2-2}\right)}^2\\ & =\frac{d_2^2}{d_2-2}(\frac{d_1+2}{d_1(d_2-4)}-\frac{1}{d_2-2})\\ & =\frac{2d_2^2(d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2{)}^2(d_2-4)}\end{array}$

である。

パレート分布

• 確率密度関数

$a,b$を$a>2,b>0$の定数とする。$x\ge b$を満たす実数$x$に対し、

$f(x)=\frac{a{b}^a}{x^{a+1}}$

と定めると、

$\underset{b}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{a{b}^a}{x^{a+1}}dx={[-\frac{b^a}{x^a}]}_b^{\mathrm{\infty }}=1$

なので、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、パレート分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

$\begin{array}{cc}E(X)& =\underset{b}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{a{b}^a}{x^a}dx\\ & ={[-\frac{a{b}^a}{(a-1)x^{a-1}}]}_b^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{ab}{a-1}\end{array}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

$\begin{array}{cc}V(X)& =\underset{b}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{a{b}^a}{x^{a-1}}dx-{\left(\frac{ab}{a-1}\right)}^2\\ & ={[-\frac{a{b}^a}{(a-2)x^{a-2}}]}_b^{\mathrm{\infty }}-\frac{a^2{b}^2}{(a-1{)}^2}\\ & =\frac{a{b}^2}{a-2}-\frac{a^2{b}^2}{(a-1{)}^2}\\ & =\frac{a{b}^2}{(a-2)(a-1{)}^2}\end{array}$

である。

補遺：ガンマ関数とベータ関数

• ガンマ関数

正の数$k$に対して、積分

$\mathrm{\Gamma }(k)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k-1}{e}^{-x}dx$

をガンマ関数という。

この積分は広義積分であるから、収束性を確認しておこう。$I_0=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{k-1}{e}^{-x}dx,I_1=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k-1}{e}^{-x}dx$のそれぞれが収束することを示せばよい。$I_0$については、$0<x\le 1$において$e^{-x}<1$より$x^{k-1}{e}^{-x}<x^{k-1}$であり、$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{k-1}dx=\frac{1}{k}$であるから、$I_0$は収束する。$I_1$については、$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{k-1}{e}^{-\frac{x}{2}}=0$であることに注意すると、ある正の数$M$が存在して$1\le x$において$x^{k-1}{e}^{-\frac{x}{2}}<M$であるから、$x^{k-1}{e}^{-x}<M{e}^{-\frac{x}{2}}$であり、$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}M{e}^{-\frac{x}{2}}dx=\frac{2M}{\sqrt{e}}$であるから、$I_1$は収束する。

ガンマ関数について、

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(k+1)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^k{e}^{-x}dx\\ & ={[-x^k{e}^{-x}]}_0^{\mathrm{\infty }}+k\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k-1}{e}^{-x}dx\\ & =k\mathrm{\Gamma }(k)\end{array}$

が成り立つ。このことと、

$\mathrm{\Gamma }(1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}dx={[-e^{-x}]}_0^{\mathrm{\infty }}=1$

であることを合わせると、自然数$n$に対しては

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

であることがわかる。

• ベータ関数

正の数$a,b$に対して、積分

$\mathrm{B}(a,b)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}dx$

をベータ関数という。

この積分は一見すると通常の積分であるが、$0<a<1$または$0<b<1$のときは端点での値が発散するので広義積分である。収束性を確認しておこう。$I_0=\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}dx,I_1=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}dx$のそれぞれが収束することを示せばよい。$I_0$については、$0<x\le \frac{1}{2}$において$(1-x{)}^{b-1}<2$より$x^{a-1}(1-x{)}^{b-1}<2x^{a-1}$であり、$\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}2x^{a-1}dx=\frac{1}{2^{a-1}a}$であるから、$I_0$は収束する。$I_1$については、$\frac{1}{2}\le x<1$において$x^{a-1}<2$より$x^{a-1}(1-x{)}^{b-1}<2(1-x{)}^{b-1}$であり、$\underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}2(1-x{)}^{b-1}dx=\frac{1}{2^{b-1}b}$であるから、$I_1$は収束する。

• ガンマ関数とベータ関数の関係

ガンマ関数とベータ関数の間には、

$\mathrm{B}(a,b)=\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(a+b)}$

という関係式が成り立つ。

（証明）

両辺ともに

$2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2a-1}\theta {\cos }^{2b-1}\theta d\theta$

という積分と等しくなることを示す。

ベータ関数について、

$\mathrm{B}(a,b)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}dx$

において$x={\sin }^2\theta$とすると$dx=2\sin \theta \cos \theta d\theta$であるから、

$\mathrm{B}(a,b)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2a-2}\theta (1-{\sin }^2\theta {)}^{b-1}2\sin \theta \cos \theta d\theta =2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2a-1}\theta {\cos }^{2b-1}\theta d\theta$

である。

ガンマ関数について、

$\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{y}^{a-1}{e}^{-y}dy\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{b-1}{e}^{-x}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{b-1}{y}^{a-1}{e}^{-x-y}dxdy$

において、$x=(r\cos \theta {)}^2,y=(r\sin \theta {)}^2$と変数変換すると、$dxdy=\left|\begin{array}{cc}2r{\cos }^2\theta & -2r^2\sin \theta \cos \theta \\ 2r{\sin }^2\theta & 2r^2\sin \theta \cos \theta \end{array}\right|drd\theta =4r^3\sin \theta \cos \theta drd\theta$であるから、

$\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)=4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{r}^{2a+2b-1}{e}^{-r^2}dr\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2a-1}\theta {\cos }^{2b-1}\theta d\theta$

である。ここでさらに$r^2=t$とすると、$2rdr=dt$であるから、

$2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{r}^{2a+2b-1}{e}^{-r^2}dr=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{a+b-1}{e}^{-t}dt=\mathrm{\Gamma }(a+b)$

であることがわかるので、以上より

$\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(a+b)}=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2a-1}\theta {\cos }^{2b-1}\theta d\theta$

である。//

ここで、得られた関係式に$a=2,b=2$を代入してみよう。すると、左辺、右辺はそれぞれ

$\mathrm{B}(2,2)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x(1-x)dx$

$\frac{\mathrm{\Gamma }(2)\mathrm{\Gamma }(2)}{\mathrm{\Gamma }(4)}=\frac{1!1!}{3!}=\frac{1}{6}$

であり、これは大学受験数学でおなじみの1/6公式そのものである。他にも、

$a=2,b=3$とすると$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x(1-x{)}^{2}dx=\frac{1!2!}{4!}=\frac{1}{12}$

$a=3,b=3$とすると$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2(1-x{)}^{2}dx=\frac{2!2!}{5!}=\frac{1}{30}$

なども、大学受験対策の公式として暗記した人もいるかもしれない。本節で示した関係式は、これらの公式を一般化したものといえるものである。