線形代数学/余因子行列

余因子行列

余因子

正方行列$A$に対して、 行列の$i$行目と$j$列目を取り除いて得られる行列を$A_{ij}$と表す。このとき、

${\tilde{a}}_{ij}=(-1{)}^{i+j}|A_{ij}|$ を$A$の$(i,j)$余因子という。

例

$\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 8\\ 1& 9& 3\\ 7& 5& 2\end{array}\right)$ の$(2,2)$余因子は、$(-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 7& 2\end{array}\right|=-46$である。

余因子展開

次のように、余因子を利用することで、行列式を求めることができる。

$|A|=a_{j1}{\tilde{a}}_{j1}+a_{j2}{\tilde{a}}_{j2}+\cdots +a_{jn}{\tilde{a}}_{jn}(1\le j\le n)$

$|A|=a_{1i}{\tilde{a}}_{1i}+a_{2i}{\tilde{a}}_{2i}+\cdots +a_{ni}{\tilde{a}}_{ni}(1\le i\le n)$

ただし、$A$は$n$次正方行列である。

これを、余因子展開という。

証明

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$

とする、このとき、

$|A|=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

である、ここで、行列$A$の$j$列目$\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{nj}\end{array}\right)$は、 $a_{1j}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+a_{2j}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+\cdots +a_{nj}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$と表すことができ、 (1)式は、 $|\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{n1}\end{array}\right),\cdots ,a_{1j}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+a_{2j}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+\cdots +a_{nj}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{c}{a}_{n1}\\ a_{n2}\\ ⋮\\ a_{nn}\end{array}\right)|$と、表すことができる。これに、行列式の性質を使えば、 $a_{1j}\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & 1& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & 0& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+a_{2j}\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & 0& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & 1& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\cdots +a_{nj}\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & 0& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & 0& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & 1& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\cdots (2)$ である。

ここで、$\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & 0& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & 0& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i1}& \cdots & 1& \cdots & a_{in}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$について考える。

この行列の$i$行目と、$i-1$行目を入れ替る。$i-1$行目と、$i-2$行目を入れ替える。・・・$2$行目と、$1$行目を入れ替える。という操作をすると、次のような行列になる。 $(-1{)}^{i-1}\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{i1}& \cdots & 1& \cdots & a_{in}\\ a_{11}& \cdots & 0& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & 0& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i-1,1}& \cdots & 0& \cdots & a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}& \cdots & 0& \cdots & a_{i+1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

行列の行または列を入れ替えると、行列式の値は$-1$倍されるのだった。この操作では、$i-1$回の入れ替えを行うので、この式は、$(-1{)}^{i-1}$倍されている。

次に、同じように、$j$列目と、$j-1$列目を入れ替える。$j-1$列目と、$j-2$列目を入れ替える。・・・$2$列目と、$1$列目を入れ替える。という操作をする。すると、次のような行列になる。

$(-1{)}^{i+j}\left|\begin{array}{ccccccc}1& a_{i1}& \cdots & a_{i,j-1}& a_{i,j+1}& \cdots & a_{in}\\ 0& a_{11}& \cdots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{12}& \cdots & a_{2,j-1}& a_{2,j+1}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& a_{i-1,1}& \cdots & a_{i-1,j-1}& a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n}\\ 0& a_{i+1,1}& \cdots & a_{i+1,j-1}& a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& a_{n1}& \cdots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

$(-1{)}^{i+j-2}=(-1{)}^{i+j}$であることについての説明は不要であろう。 これを、行列式の定義に従って展開する。

一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。 なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、$|A_{i,j}|$と一致する。 よって、この行列式は、$(-1{)}^{i+j}|A_{ij}|={\tilde{a}}_{ij}$である。

これを、(2)式に代入すれば、$|A|=a_{j1}{\tilde{a}}_{j1}+a_{j2}{\tilde{a}}_{j2}+\cdots +a_{jn}{\tilde{a}}_{jn}$となり、証明された。

これと同様の議論を行にも行えば、もう一方の式も導くことができる。

余因子行列

$\tilde{A}=({\tilde{a}}_{j,i})$をAの余因子行列という。

余因子行列には、以下の性質がある。

$A\tilde{A}=\tilde{A}A=|A|E$

証明

$\tilde{A}A=\left(\begin{array}{ccc}{\tilde{a}}_{11}& \cdots & {\tilde{a}}_{m1}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\tilde{a}}_{1n}& \cdots & {\tilde{a}}_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$なので、 行列$\tilde{A}A$の$(i,j)$成分は、

$a_{1i}{\tilde{a}}_{1j}+a_{2i}{\tilde{a}}_{2j}+\cdots +a_{ni}{\tilde{a}}_{nj}\cdots (1)$である。

(i)$i=j$のとき

(1)式は、行列$A$の$i$列目に関して余因子展開をした式と一致するので、(1)式は$i=j$のとき、$|A|$である。

(ii)$i\ne j$のとき

行列$A$の$i$列目が行列$A$の$j$列目になっている行列の行列式について考える。この行列式は以下のようになる。

$\left|\begin{array}{ccccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1,i-1}& a_{1j}& a_{1,i+1}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2,i-1}& a_{2j}& a_{2,i+1}& \cdots & a_{2j}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{n,i-1}& a_{nj}& a_{n,i+1}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

この行列のi列目について、余因子展開を行うと、(1)式と一致する。

同じ列がある行列の行列式は0になるのだった。なので、(1)式は、$i\ne j$のとき、0である。

まとめると、$a_{1i}{\tilde{a}}_{1j}+a_{2i}{\tilde{a}}_{2j}+\cdots +a_{ni}{\tilde{a}}_{nj}=\{\begin{array}{c}|A|(i=j)\\ 0(i\ne j)\end{array}$である。 よって$\tilde{A}A=|A|E$である。同様の議論を行えば、$A\tilde{A}=|A|E$も導くことができる。

逆行列の計算

$|A|\ne 0$のとき$A^{-1}$が存在するので、$\tilde{A}A=|A|E$に$A^{-1}$を右からかけ$|A|$で割れば、 $A^{-1}=\frac{\tilde{A}}{|A|}$である事がわかる。 テンプレート:ナビゲーション