中等教育前期の数学/幾何編/下巻/線分の比と軽量

平面図形

ここでは、三角形の重心、外心、内心などについて説明する。更に、四角形が円に内接する条件や方べきの定理などについても扱う。

三角形の性質

三角形の重心

三角形の頂点から相対する辺の中点に対して下ろした線分のことを 中線 （ちゅうせん）という。

三角形の3つの中線の交点のことを、その三角形の 重心 （じゅうしん）という。

右図では、点Gが△ABCの重心である。

三角形の重心

三角形の重心 定理 三角形の3本の中線は1点で交わる。また、その交点は中線を 2:1 に内分する。

• 証明

△ ABC を取りBC,ACの中点をそれぞれ D, E とする。また、線分AD,BEの交点を G とする。ここで、点Eから線分ADに向かって辺BCに平行な線分を取り、 線分ADとの交点を L とする。

このとき、三角形 GEL と、GBDは相似であり 互いの相似比は 1:2 であることを示す。 LEとBCが平行であることから、

$\mathrm{\angle }GBD=\mathrm{\angle }GEL$

$\mathrm{\angle }GDB=\mathrm{\angle }GLE$

となり、2角が等しいことから△ GEL と △ GBD は相似である。 更に、LEとBCが平行であることから△ALEと△ADCも相似であり、その相似比は点Eが線分ACの中点であることを考えると、1:2である。よって、

$LE:DC=1:2$

が成立し、△GELと△GBDの相似比は1:2であることがわかった。 また、△ALEと△ADCの相似から

$AL=LD$

が得られる。これらのことからAGとADの比を計算すると、

$AG=AL+LG=\frac{1}{2}AD+\frac{1}{3}LD$

$=\frac{1}{2}AD+\frac{1}{6}AD=\frac{2}{3}AD$

となり、確かに G はADを2:1に内分する点になっている。

同様にして、頂点Cから線分ABにむかって中線AKを引き、中線AKとADとの交点をHとすると、 上記の証明と同様の論理でADは点Hにより 2:1 に内分される。

内分の比率が同じなので、点Hと点Gは一致する。