制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/(sI-A)^-1の原像

さて Cayley-Hamilton の定理を用いると， $A$ の関数は高々 $n - 1$ 次の $A$ の多項式で表されることがわかる．それで $(s I - A)^{- 1}$ を $A$ の多項式で表してみよう．式 (5.21) をスカラで表した式，テンプレート:制御と振動の数学/equation と， $s$ と $α$ を入れ替えた式，テンプレート:制御と振動の数学/equation が成り立つであることは明らかであろう^[1]．前の式において $α$ を $A$ とおくと， $p (A) = 0$ であるから，式 (5.21) が得られ，後の式で $α$ を $A$ とおくと，テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．もちろん $p (A) = 0$ である．よって次の結果を得る．

定理 5.2

$♢$

系

$♢$

$(s I - A)^{- 1}$ を求めるには， $A$ の固有方程式が分かっているときには，この定理によるのが一番簡単なようである．しかし，その原像を求めるときには必ずしも一番簡単とはいえない．

例116

解答例

$♢$

↑ その理由は直後に記述されている，念のため．
↑ 式 (5.22d) の両辺を $- p (s)$ で割ると，

$I = (s I - A) {\frac{1 = p_{0} (s)}{p (s)} A^{n - 1} + \frac{p_{1} (s)}{p (s)} A^{n - 2} + \frac{p_{2} (s)}{p (s)} A^{n - 3} + \cdot + \frac{p_{n - 3 (s)}}{p (s)} A^{2} + \frac{p_{n - 2} (s)}{p (s)} A + \frac{p_{n - 1} (s)}{p (s)} I}$ ．

$∴ (s I - A)^{- 1} = \frac{p_{0} (s)}{p (s)} A^{n - 1} + \frac{p_{1} (s)}{p (s)} A^{n - 2} + \frac{p_{2} (s)}{p (s)} A^{n - 3} + \cdot + \frac{p_{n - 3} (s)}{p (s)} A^{2} + \frac{p_{n - 2} (s)}{p (s)} A + \frac{p_{n - 1} (s)}{p (s)} I$ ．
↑ 式 (5.21) ⇒ 式 (5.22b) ⇒ 式 (5.22c) ⇒ 式 (5.22d) ⇒ 式 (5.22e) の展開である．
↑ $A$ は $s$ を含まない定数，よって式 (5.22e) の原像を求めればこの式となる．

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