制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理

線形定常常微分方程式 テンプレート:制御と振動の数学/equation の解の $t\to \mathrm{\infty }$ における振舞を調べるのが目的である．ここでは係数は実数としておく．

式 (4.13) には $x=0$ という解がある． これを零解という．零解は時間の経過には無関係に一定値を取り続ける．そのような解を式 (4.13) の平衡点と呼ぶことがある．$a_n\ne 0$ ならば式 (4.13) の平衡点は零解だけである． さて，零解以外の任意の解 $x(t)$ が，零解に近づくかどうか，その条件はなにかというのが我々の問題である．

安定の定義

(i) 式 (4.13) の解 $x(t)$ が テンプレート:制御と振動の数学/equation となるとき，$x(t)$ は安定な解であるという．すべての解が安定な解となるとき， 式 (4.13) の零解は安定である， あるいは微分方程式 (4.13) は安定であるという．

(ii) テンプレート:制御と振動の数学/equation となる解を不安定な解という．このような解が少なくとも一つ存在すれば， 式 (4.13) は不安定であるという．

(iii) (i) でも (ii) でもないとき，すなわち $t\to \mathrm{\infty }$ で発散する解は存在しない．しかしすべての解が $0$ に漸近するわけではないとき， 式 (4.13) は安定限界であるという． $\mathrm{♢}$

例95$$

(i) $e^{-t},t^3{e}^{-2t}\cos t$ （安定な解）

(ii) $t,e^{2t},t\sin t$ （不安定な解）

(iii) $1,\sin t$ （安定限界となる解）

$\mathrm{♢}$

さて式 (4.13) の特性方程式を $p(s)$ とし， $\alpha$ をその根とすると， テンプレート:制御と振動の数学/equation なる根がある． テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．上から $e^{\alpha t}$ は安定，不安定，安定限界であることが分かる．一般の解は， テンプレート:制御と振動の数学/equation のような解の 1 次結合から成り立っている．したがって，この解の安定，不安定を調べればよい． テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから $a>0$ なら，この解は $t\to \mathrm{\infty }$ とともに発散する．また $a<0$ なら， テンプレート:制御と振動の数学/equation なる負の実数 $c$ が存在し，この $c$ に対して， テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．よって $c<0$ に留意すれば， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．それゆえ，次の結果が得られた．

定理 4.1（安定定理） 式 (4.13) の特性方程式 $p(s)$ の根 ${\alpha }_i$ の実数部の最大なるものを $a^{*}$ とする．すなわち， テンプレート:制御と振動の数学/equation とするとき，微分方程式 (4.13) は， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation である．また， テンプレート:制御と振動の数学/equation ならば， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation である．

証明

前半の安定・不安定の部分の証明はすでに与えた．後半の単根の場合も終わっている． 重根の場合は，${\alpha }^{*}=a^{*}+i{b}^{*}$ とすると， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから，この解は発散する．よって不安定である． $\mathrm{♢}$

この定理から，安定・不安定の判別は，$p(s)$ の根の，複素平面 ($s$ 平面）上における配置によって決まることが分かる．

安定$$ 根がすべて左半面にあるとき

不安定$$ 少なくとも 1 根が右半面に存在するか，あるいは右半面には存在しないが，虚軸上に重根があるとき

安定限界$$ 虚軸上の根は単根で、他はすべて左半面にあるとき

とまとめることができる．