制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の積分

(1)原始関数

実変数 $t$ の複素数値関数 $f(t)$ が与えられているとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる関数 $F(t)$ を $f(t)$ の原始関数という．

例87$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation は $e^{\alpha t}$ の原始関数．

$\mathrm{♢}$

$Ain𝐂$ を任意の定数とするとき，$F(t)+A$ も $f(t)$ の原始関数となる．これを， テンプレート:制御と振動の数学/equation と表す．時には $A$ を省略することがある．

さてこのように定義すると $g(t),h(t)$ を実関数とし， テンプレート:制御と振動の数学/equation なるとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation すなわち， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation が成立する．

事実，$f(t)$ の原始関数の一つを， テンプレート:制御と振動の数学/equation とすると，微分の定義から， テンプレート:制御と振動の数学/equation であるが，これが， テンプレート:制御と振動の数学/equation に等しいのであるから，相等の定義から， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．これは $G,H$ が実関数 $g,h$ の原始関数であることを意味するから， テンプレート:制御と振動の数学/equation と書ける．ここに $a,b$ は任意の実定数である．ここで $A=a+ib$ とおくと， テンプレート:制御と振動の数学/equation すなわち， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．

例88$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation の実部と虚部を等置することにより， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る． $\mathrm{♢}$

(2)定積分

複素数値関数 $f(t)=g(t)+ih(t)$ の定積分を， テンプレート:制御と振動の数学/equation と定義する．このとき微分積分学の基本公式が成立する．

微分積分学の基本公式 テンプレート:制御と振動の数学/equation

証明

実関数に対する基本公式， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation は既知であるから，第 2 式に $i$ を掛けて加えればよい．

また定積分に関して次の性質が成立する．

複素数値関数の積分の基本的性質

[Ⅰ] $f_1(t),f_2(t)$ を複素数値関数，$c_1,c_2\in 𝐂$ とすれば テンプレート:制御と振動の数学/equation

[Ⅱ] $f(t),g(t)$ を複素数値関数とするとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation

[Ⅲ] $f(t)$ を複素数値関数，$\phi (\tau )$ は実数値関数とする．このとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation ここに，$a=\phi ({\tau }_a),b-\phi ({\tau }_b)$．

[Ⅳ] テンプレート:制御と振動の数学/equation ここに $f(t)$ は複素数値関数

[Ⅴ] $f(t)$ を任意の有限区間で積分可能な複素数値関数とする． テンプレート:制御と振動の数学/equation

以下に Ⅳ の証明だけ与えておく． ほかは，実関数に関する同様な公式を既知とすれば，複素数値関数の積分の定義から簡単に得られる．

公式Ⅳの証明

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$ は複素数であるから，その偏角を $\theta$ とおいて，極形式で表すと， テンプレート:制御と振動の数学/equation よって， テンプレート:制御と振動の数学/equation 公式Ⅰを用いて テンプレート:制御と振動の数学/equation 定積分の定義により， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．左辺は実数であるから，右辺の第 2 項は $0$ である．また， テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから，実関数に関する公式Ⅳを用いると， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．

$\mathrm{♢}$