制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/一般解と解の基本形

以上の議論によって，$n$ の定常線形微分方程式， テンプレート:制御と振動の数学/equation には，$n$ 個の 1 次独立な解が存在することが分かった．またその 1 組を具体的に求める方法も全章で学んだ．それをいま， テンプレート:制御と振動の数学/equation としよう．重ね合わせの原理により，その 1 次結合 テンプレート:制御と振動の数学/equation もまた式 (3.27) の解であることを知っている． ここでは 式 (3.28) が 式 (3.27) の一般解であること， すなわち任意の初期値， テンプレート:制御と振動の数学/equation を与えたとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation が任意の $t_0$ と $\{{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3,\cdots ,{\xi }_{n-1},{\xi }_n\}$ に対して常に解けることを示そう．それは次の定理によって保証される．

定理 3.5

$p(D)x=0$ の 1 次独立な $n$ 個の解を， テンプレート:制御と振動の数学/equation とすると，次の行列式， テンプレート:制御と振動の数学/equation は決して $0$ になることはない．この行列式を Wronsky の行列式といい， テンプレート:制御と振動の数学/equation などで表す．

証明

いまある $t_0$ に対して Wronsky の行列式が $0$ となったとする．このとき 1 次方程式， テンプレート:制御と振動の数学/equation には，すべては $0$ でない解が存在する．それを， テンプレート:制御と振動の数学/equation としよう．この値を用いて テンプレート:制御と振動の数学/equation を作れば，これは $p(D)x=0$ の解であって，しかも， テンプレート:制御と振動の数学/equation を満たす．よって解の一意性から，$x(t)\equiv 0$ でなければならない． このとき $\{{\phi }_1,{\phi }_2,\cdots {\phi }_n\}$ の 1 次独立性から， テンプレート:制御と振動の数学/equation でなければならない．これは矛盾である．

$\mathrm{♢}$

例81$$

${\phi }_1,{\phi }_2$ が 1 次独立で，$W[{\phi }_1,{\phi }_2]\equiv 0$ となる例を作れ．

解答例

$\mathrm{♢}$

$n$ 階の線形定常常微分方程式の任意の解は，$n$ 個の独立な解を見出せばその 1 次結合で表されることが分かった． この $n$ 個の独立な解のことを，解の基本系または基本解系という．この事実は次の定理にまとめられる．

定理 3.6

$n$ 階の線形定常常微分方程式の解の全体は，$n$ 次元ベクトル空間を作る．その基底は解の基本形である．

$\mathrm{♢}$