制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/一つの例

一般論に入る前に，まず一つの例を与える． テンプレート:制御と振動の数学/equation の解を，特に初期値を指定しないで求めてみよう． Laplace 変換すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation $ℒ[x]$ について整理すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．この式の右辺は $s$ の 2 次式である．$x(0),x^{\prime }(0),x^{″}(0)$ をとくに指定しないので，一般には高々 2 次式の多項式となる． これを $q(s)$ とおこう．すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation とまとまる．これを部分分数に展開すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation ここで初期値を指定していないので $A,B,C$ は未定の定数である．この原像は， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．すでに述べたことであるが，3 階の微分方程式は一般に 3 個の未定定数を含む． このような解を一般解と呼んでいる．“一般”という意味は $A,B,C$ を適当に選ぶことによって，どのように初期値を与えてもそれを満たす解が 式 (3.21) から作れるという意味である． そのことを確かめよう．初期値を， テンプレート:制御と振動の数学/equation と与えると， テンプレート:制御と振動の数学/equation とならなければならないが，この係数の作る行列式は テンプレート:制御と振動の数学/equation 3 行目に 1 行目を加えて， テンプレート:制御と振動の数学/equation となり，これは $t_0$ がどんな値であっても，決して $0$ とはならない． よって式 (3.22) を満たす $A,B,C$ が一意に確定する．このことは， テンプレート:制御と振動の数学/equation が式 (3.20) の解であって， しかも 1 次独立であることに起因する．このことの詳細は次節に示すこととし，ここでは 式 (3.23) が 1 次独立であることを示しておこう． テンプレート:制御と振動の数学/equation から $A=B=C=0$ を導けばよい．それにはまず 式 (3.24) に $D^2+1$ を作用させるとよい．このとき $\cos t$ と $\sin t$ の項は消えて， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．次に， テンプレート:制御と振動の数学/equation において $t=0$ とおくと $B=0$ を得，ついで $C=0$ を得る． このように，3 階の線形微分方程式は常に 3 個の 1 次独立な解をもち，その 1 次結合が一般解となるのである． 一般の場合の証明も，この例とほぼ同様にして示される．

例77$$

次の微分方程式の一般解を求めよ． テンプレート:制御と振動の数学/equation

解答例

$\mathrm{♢}$

例78$$

次の微分方程式の一般解を求めよ． テンプレート:制御と振動の数学/equation

解答例

$\mathrm{♢}$

例79$$

次の微分方程式の一般解を求めよ． テンプレート:制御と振動の数学/equation

解答例

$\mathrm{♢}$

例80$$

一般解は Laplace 変換によらずとも，特性多項式を見れば直ちに分かる．どうしてか．

解答例

$\mathrm{♢}$