制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/三角関数の加法定理

解の一意性の応用として，三角関数の加法定理の証明を紹介しよう． $x(t)=\sin (t+\alpha )$ は， テンプレート:制御と振動の数学/equation の解であり，その初期値は， テンプレート:制御と振動の数学/equation である．この解は一つしかない．いま式 (3.15) ， 式 (3.16) を満たす解を Laplace 変換で求めてみよう． テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation この原像は， テンプレート:制御と振動の数学/equation である．よって解の一意性から， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．

例72$$

例にならって $e^t,\cos t$ の加法定理を導け．

解答例

$x(t)=e^t$ は $\frac{dx}{dt}-x=0$…① の解．
よって定常性の原理より $x(t+\alpha )=e^{t+\alpha }$ も①の解であり，この解の①における初期値は $x(0)=e^{\alpha }$…②
①②の微分方程式を解く．$X⊏x$ とおくと，
$sX-e^{\alpha }-X=0$
$\therefore X=\frac{e^{\alpha }}{s-1}$
この原像は，
$x=e^{\alpha }{e}^t$…③
解の一意性より、①②の特殊解は③のみであるから，
$e^{t+\alpha }=e^t{e}^{\alpha }$．

$x=\cos t$ は $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+x=0$ …④ の解
よって定常性の原理より $\cos (t+\alpha )$ も④の解であり，この解の④における初期値は $x(0)=\cos \alpha ,x^{\prime }(0)=-\sin \alpha$…⑤
④⑤の微分方程式を解く．$X⊏x$ とおくと，
$s^{2}S-s\cos \alpha +\sin \alpha +\sin \alpha +X=0$
$\therefore X=\frac{s}{s^2+1}\cos \alpha -\frac{1}{s^2+1}\sin \alpha$
この原像は，
$x=\cos t\cos \alpha -\sin t\sin \alpha$…⑥
解の一意性より，④⑤の特殊解は⑥のみであるから，
$\cos (t+\alpha )=\cos t\cos \alpha -\sin t\sin \alpha$

$\mathrm{♢}$