制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/単振動の方程式の場合

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テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation の解の一意性を示すのは簡単である． $m > 0, k > 0$ である．前項と同様に考えて，テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation の解が $x \equiv 0$ に限ることをいえばよい．いまこの系のエネルギーを考える：テンプレート:制御と振動の数学/equation これが保存されることは物理的にみて明らか^[1]である．事実，微分すると，テンプレート:制御と振動の数学/equation 式 (3.14) を考慮すると，テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．よってテンプレート:制御と振動の数学/equation を得，再び式 (3.14) の初期条件を思い起こすと， $E (t_{0}) = 0$ であることが分かる^[2]．すなわち，テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation この技法をエネルギーの方法といい，偏微分方程式の解の一意性を示す場合などにも使われる．

↑ エネルギー保存則が実際成立することは次の式変形で示される．ばね定数 $k$ ，自然長からの変位が $x$ であるバネの保有するエネルギーは $\frac{1}{2} k x^{2}$ ．
↑ $E (t) = E (t_{0}) = \frac{1}{2} m {x^{'} (t_{0})^{2}} + \frac{1}{2} k {x (t_{0})}^{2} = 0$

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