制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/1 階線形微分方程式の場合

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テンプレート:制御と振動の数学/equation の解が二つあると仮定し，それらを $φ_{1} (t), φ_{2} (t)$ とする．テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから，テンプレート:制御と振動の数学/equation とおくと，これはテンプレート:制御と振動の数学/equation を満たす． $u (t) \equiv 0$ を示せばよい．上式の両辺に $e^{a t}$ をかけると，テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．これを $t_{0}$ から $t$ まで積分すると， $u (t_{0}) = 0$ であるから，テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る^[1]^[2]．

↑ 式 (3.13c)の左辺は $\int_{t_{0}}^{t} \frac{d}{d t} e^{a t} u (t) d t = [e^{a t} u (t)]_{t_{0}}^{t} = e^{a t} u (t) - e^{a t_{0}} u (t_{0}) = e^{a t} u (t) (∵ u (t_{0}) = 0)$
右辺は， $0$ を $t_{0}$ から $t$ まで積分すると，これは定積分だから $[C]_{t_{0}}^{t} = 0$
すなわち $e^{a t} u (t) \equiv 0$
よって $u (0) \equiv 0$ ．
↑ 普通に $\frac{d u}{d t} + a u = 0$ を解くことも可能であるが，現時点ではこの形での解の一意性は証明していないのだから，別に一意性の証明が必要になると解釈する．

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