制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/線形性と重ね合わせの原理

$x_{1} (t), x_{2} (t)$ を微分可能な二つの関数とし， $c_{1}, c_{2}$ を定数とすると，テンプレート:制御と振動の数学/equation となることはよく知られている^[1]．さらに $D^{m}$ の定義から，テンプレート:制御と振動の数学/equation が従い^[2]，このことからテンプレート:制御と振動の数学/equation が導かれることは明らか^[3]であろう．もちろん $x_{i} (t)$ は 2 個に限る必要はない．

この事実を微分作用素 $p (D)$ は線形性をもつとか，加法的であるという．この意味で，式(3.1) または式(3.2) の微分方程式を“線形”微分方程式と呼ぶのである．線形方程式の特徴は次の重ね合わせの原理が成立することである．

[重ね合わせの原理Ⅰ，同次式の場合]

テンプレート:制御と振動の数学/equation が式(3.1) の解ならば，テンプレート:制御と振動の数学/equation も式(3.1) の解である．ここに $c_{i}$ は定数とする．

証明

$p (D)$ の線形性からテンプレート:制御と振動の数学/equation となるからである^[4]^[5]． $♢$

例66

$\cos β t, \sin β t$ はいずれも，テンプレート:制御と振動の数学/equation の解である．したがって $A, B$ を定数とするとき， $A \cos β t + B \sin β t$ も上式の解となる． $♢$

この結果は非同次式に対しては，次のように拡張される．

[重ね合わせの原理Ⅱ，同次式の場合]

$x_{i} (t) (i = 1, 2, \dots, k)$ をテンプレート:制御と振動の数学/equation の解とすると，テンプレート:制御と振動の数学/equation は，テンプレート:制御と振動の数学/equation の解となる． $♢$

証明は，同次の場合と同じであるから省略する．^[6]

例67

$x_{1} (t) = - e^{- t} + 1$ 　は $x^{'} + x = 1$ の解， $x_{2} (t) = e^{- t} + t - 1$ は $x^{'} + x = t$ の解である．このとき，テンプレート:制御と振動の数学/equation は，テンプレート:制御と振動の数学/equation の解となる．

$♢$

↑ $f, g$ を $t$ の関数， $k$ を定数として， $\frac{d}{d t} (f + g) = \frac{d f}{d t} + \frac{d g}{d t}$ および $\frac{d}{d t} (k f) = k \frac{d f}{d t}$
↑ 第2次導関数についていえば， $\frac{d^{2}}{d t^{2}} (k f) = \frac{d}{d t} \frac{d}{d t} (k f) = \frac{d}{d t} (k \frac{d f}{d t}) = k \frac{d}{d t} \frac{d f}{d t} = k \frac{d^{2} f}{d t^{2}}$
また $\frac{d^{2}}{d t^{2}} (f + g) = \frac{d}{d t} \frac{d}{d t} (f + g) = \frac{d}{d t} (\frac{d f}{d t} + \frac{d g}{d t}) = \frac{d}{d t} \frac{d f}{d t} + \frac{d}{d t} \frac{d g}{d t} = \frac{d^{2} f}{d t^{2}} + \frac{d^{2} g}{d t^{2}}$
↑ $\frac{d}{d t} (f + g) = \frac{d f}{d t} + \frac{d g}{d t}, \frac{d^{2}}{d t^{2}} (f + g) = \frac{d^{2} f}{d t^{2}} + \frac{d^{2} g}{d t^{2}}, \frac{d^{3}}{d t^{3}} (f + g) = \frac{d^{3} f}{d t^{3}} + \frac{d^{3} g}{d t^{3}}, \dots$ 等から，

$p (D) {c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2}} = p (D) {c_{1} x_{1}} + p (D) {c_{2} x_{2}}$
$\frac{d}{d t} (k f) = k \frac{d f}{d t}, \frac{d^{2}}{d t^{2}} (k f) = k \frac{d^{2} f}{d t^{2}}, \frac{d^{3}}{d t^{3}} (k f) = k \frac{d^{3} f}{d t^{3}}, \dots$ 等から，

$p (D) {c_{1} x_{1}} + p (D) {c_{2} x_{2}} = c_{1} p (D) x_{1} + c_{2} p (D) x_{2}$
↑
$p (D) {\sum_{i = 1}^{k} c_{i} x_{i} (t)} = \sum_{i = 1}^{k} p (D) c_{i} x_{i} (t) ∵ (f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$

$= \sum_{i = 1}^{k} c_{i} p (D) x_{i} (t) ∵ (k f)^{'} = k f^{'}$

$= \sum_{i = 1}^{k} c_{i} \cdot 0 = 0 ∵ p (D) x_{i} (t) = 0 (i = 1, 2, \dots, k)$
↑ $x_{i} (t)$ が式(3.1) の解ならば，

$p (D) x_{i} (t) = 0$ …①
$\sum_{i = 1}^{k} c_{i} x_{i} (t)$ が式(3.1)の解かどうかは，式(3.1)に実際に代入してみるとよく，すなわち， $p (D) {\sum_{i = 1}^{k} c_{i} x_{i} (t)}$ の値が ①のもとで $0$ であれば $\sum_{i = 1}^{k} c_{i} x_{i} (t)$ も式(3.1) の解であり，実際にそうであった．
↑ 証明： $p (D) x_{i} (t) = f_{i} (t)$ …①

$p (D) x (t) = p (D) \sum_{i = 1}^{k} c_{i} x_{i} (t)$

$= \sum_{i = 1}^{k} p (D) c_{i} x_{i} (t) ∵ (f + k)^{'} = f^{'} + k^{'}$

$= \sum_{i = 1}^{k} c_{i} p (D) x_{i} (t) ∵ (k f)^{'} = k f^{'}$

$= \sum_{i = 1}^{k} c_{i} f_{i} (t) ∵$ ①

[1] $f, g$ を $t$ の関数， $k$ を定数として， $\frac{d}{d t} (f + g) = \frac{d f}{d t} + \frac{d g}{d t}$ および $\frac{d}{d t} (k f) = k \frac{d f}{d t}$

[2] 第2次導関数についていえば， $\frac{d^{2}}{d t^{2}} (k f) = \frac{d}{d t} \frac{d}{d t} (k f) = \frac{d}{d t} (k \frac{d f}{d t}) = k \frac{d}{d t} \frac{d f}{d t} = k \frac{d^{2} f}{d t^{2}}$
また $\frac{d^{2}}{d t^{2}} (f + g) = \frac{d}{d t} \frac{d}{d t} (f + g) = \frac{d}{d t} (\frac{d f}{d t} + \frac{d g}{d t}) = \frac{d}{d t} \frac{d f}{d t} + \frac{d}{d t} \frac{d g}{d t} = \frac{d^{2} f}{d t^{2}} + \frac{d^{2} g}{d t^{2}}$

[3] $\frac{d}{d t} (f + g) = \frac{d f}{d t} + \frac{d g}{d t}, \frac{d^{2}}{d t^{2}} (f + g) = \frac{d^{2} f}{d t^{2}} + \frac{d^{2} g}{d t^{2}}, \frac{d^{3}}{d t^{3}} (f + g) = \frac{d^{3} f}{d t^{3}} + \frac{d^{3} g}{d t^{3}}, \dots$ 等から，

$p (D) {c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2}} = p (D) {c_{1} x_{1}} + p (D) {c_{2} x_{2}}$
$\frac{d}{d t} (k f) = k \frac{d f}{d t}, \frac{d^{2}}{d t^{2}} (k f) = k \frac{d^{2} f}{d t^{2}}, \frac{d^{3}}{d t^{3}} (k f) = k \frac{d^{3} f}{d t^{3}}, \dots$ 等から，

$p (D) {c_{1} x_{1}} + p (D) {c_{2} x_{2}} = c_{1} p (D) x_{1} + c_{2} p (D) x_{2}$

[4] 
$p (D) {\sum_{i = 1}^{k} c_{i} x_{i} (t)} = \sum_{i = 1}^{k} p (D) c_{i} x_{i} (t) ∵ (f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$

$= \sum_{i = 1}^{k} c_{i} p (D) x_{i} (t) ∵ (k f)^{'} = k f^{'}$

$= \sum_{i = 1}^{k} c_{i} \cdot 0 = 0 ∵ p (D) x_{i} (t) = 0 (i = 1, 2, \dots, k)$

[5] $x_{i} (t)$ が式(3.1) の解ならば，

$p (D) x_{i} (t) = 0$ …①
$\sum_{i = 1}^{k} c_{i} x_{i} (t)$ が式(3.1)の解かどうかは，式(3.1)に実際に代入してみるとよく，すなわち， $p (D) {\sum_{i = 1}^{k} c_{i} x_{i} (t)}$ の値が ①のもとで $0$ であれば $\sum_{i = 1}^{k} c_{i} x_{i} (t)$ も式(3.1) の解であり，実際にそうであった．

[6] 証明： $p (D) x_{i} (t) = f_{i} (t)$ …①

$p (D) x (t) = p (D) \sum_{i = 1}^{k} c_{i} x_{i} (t)$

$= \sum_{i = 1}^{k} p (D) c_{i} x_{i} (t) ∵ (f + k)^{'} = f^{'} + k^{'}$

$= \sum_{i = 1}^{k} c_{i} p (D) x_{i} (t) ∵ (k f)^{'} = k f^{'}$

$= \sum_{i = 1}^{k} c_{i} f_{i} (t) ∵$ ①

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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