制御と振動の数学/Laplace 変換/定積分の計算への応用/定積分の計算の仕方

このあたりで趣向を変え、定積分の計算へLaplace 変換を応用してみよう．

少し面倒な定積分も，比較的簡単に処理できることがある．

例56$$

次の公式は有名である．

テンプレート:制御と振動の数学/equation これを少し一般化した次の公式を示す．

この積分を求めるには，次のようにする．まず テンプレート:制御と振動の数学/equation とおいて Laplace 変換 する．： テンプレート:制御と振動の数学/equation ここで $ℒ$ と $\int$ とは交換できるものとした．これは Laplace 変換の定義を書き下してみれば分かる通り， 2 重積分の積分順序の交換が許されると仮定することを意味する． 厳密には証明を要するところであるが，おおらかに進むことにしよう．そうすれば，上式は テンプレート:制御と振動の数学/equation と簡単な積分に変換される． テンプレート:制御と振動の数学/equation すなわち， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．ここで，原像を求めれば， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．式 (2.35) に戻ってみれば分かるように，$f(t)$ は奇関数であるから，

テンプレート:制御と振動の数学/equation となり，$t=a$ とおけば，求める結果を得る．

$\mathrm{♢}$

例57$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation を示せ．

解答例

$f(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos tx}{x^2+a^2}dx$

とおく．両辺をラプラス変換すると，

$ℒ[f(t)]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{sdx}{(x^2+a^2)(x^2+s^2)}$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{x^2+a^2}-\frac{1}{x^2+s^2})\frac{sdx}{s^2-a^2}$

ここで 例56 の結果より

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x^2+{\alpha }^2}=\frac{\pi }{2\alpha }$

であることがすでに分かっているから，

$ℒ[f(t)]=\frac{s}{(s+a)(s-a)}(\frac{\pi }{2a}-\frac{\pi }{2s})$

$=\frac{\pi }{2}\frac{s}{(s+a)(s-a)}(\frac{1}{a}-\frac{1}{s})$

$=\frac{\pi }{2}\frac{s}{(s+a)(s-a)}\frac{s-a}{as}$

$=\frac{\pi }{2a(s+a)}$

したがって

$f(t)=\frac{\pi }{2a}{e}^{-at}(t>0)$

を得る．$t>0$ のとき

$f(-t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (-t)x}{x^2+a^2}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos tx}{x^2+a^2}dx=f(t)$

よって

$f(t)=\frac{\pi }{2a}{e}^{-a|t|}(-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty })$

$\mathrm{♢}$

例58$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation を示せ．

解答例

$f(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (t\tan x)dx$

にて $y=\tan x$ と置いて積分変数を $x$ から $y$ に変更する．

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+ta{n}^{2}x=1+y^2$

$\therefore \frac{dx}{dy}=\frac{1}{1+y^2}$

$\therefore dx=\frac{dy}{1+y^2}$

積分範囲は $x:0\to \frac{\pi }{2}$ のとき $y:0\to \mathrm{\infty }$． したがって，

$f(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos ty}{1+y^2}dy$

例57 より

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos tx}{x^2+a^2}dx=\frac{\pi }{2a}{e}^{-a|t|}(a>0)$

にて $a=1$ を代入．

$f(t)=\frac{\pi }{2}{e}^{-t}(t>0)$

$f(a)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (a\tan x)dx=\frac{\pi }{2}{e}^{-a}(a>0)$

$\mathrm{♢}$

例59$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation を示せ．

解答例

$f(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin tx}{x(x^2+b^2)}dx$

とおく．両辺をラプラス変換すると，

$ℒ[f(t)]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{x(x^2+b^2)(x^2+s^2)}dx$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{x^2+b^2}-\frac{1}{x^2+s^2})\frac{dx}{(s^2-b^2)}$

例56 より

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x^2+{\alpha }^2}=\frac{\pi }{2\alpha }$

を適用し，

$ℒ[f(t)]=\frac{1}{(s+b)(s-b)}(\frac{\pi }{2b}-\frac{\pi }{2s})$

$=\frac{\pi }{2(s+b)(s-b)}\frac{(s-b)}{bs}$

$=\frac{\pi }{2bs(s+b)}$

$=\frac{\pi }{2b^2}(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+b})$

よって，

$f(t)=\frac{\pi }{2b^2}(1-e^{-bt})$

$\therefore f(a)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin ax}{x(x^2+b^2)}dx=\frac{\pi }{2b^2}(1-e^{-ab})$

$\mathrm{♢}$

例60$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation を示せ．

解答例

$f(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\sin tx}{x^2+b^2}dx$

とおく．両辺をラプラス変換して，

$ℒ[f(t)]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2}dx}{(x^2+b^2)(x^2+s^2)}$

$=\frac{1}{s^2-b^2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{x^2+b^2}-\frac{1}{x^2+s^2})x^{2}dx$

$=\frac{1}{(s+b)(s-b)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{x^2}{x^2+b^2}-\frac{x^2}{x^2+s^2})dx$

$=\frac{1}{(s+b)(s-b)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\{1-\frac{b^2}{x^2+b^2}-(1-\frac{s^2}{x^2+s^2})\}dx$

$=\frac{1}{(s+b)(s-b)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{s^2}{x^2+s^2}-\frac{b^2}{x^2+b^2})dx$

例56 より

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x^2+{\alpha }^2}=\frac{\pi }{2\alpha }$

を適用し，

$ℒ[f(t)]=\frac{1}{(s+b)(s-b)}[\frac{s^2\pi }{2s}-\frac{b^2\pi }{2b}]$

$=\frac{1}{(s+b)(s-b)}\frac{\pi }{2}(s-b)$

$=\frac{\pi }{2}\frac{1}{s+b}$

よって，

$f(t)=\frac{\pi }{2}{e}^{-bt}(t>0)$

$\therefore f(a)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\sin ax}{(x^2+b^2)}dx=\frac{\pi }{2}{e}^{-ab}(a,b>0)$

$\mathrm{♢}$