線型代数学/行列と行列式/第三類/行列の定義・和・差

線形代数では、行列と呼ばれるものを扱う．

数字を長方形の形に並べて括弧で括ったものを行列という． 横に並んだ数の並びを行と呼び，上から第 1 行，第 2 行，$\cdots$， 縦に並んだ数の並びを列と呼び，左から第 1 列，第 2 列，$\cdots$ と数える． $m$ × $n$ の長方形に並んだものを，$m$ 行 $n$ 列の行列， または $(m,n)$ 型行列という．

$n$ 元列ベクトルは $(n,1)$ 型行列， $n$ 元行ベクトルは $(1,n)$ 型行列とみなすことができる．

例えば $(3,4)$ 型行列があって、その第 2 行、第 3 列に書かれている数が $4$ であるとき、 これを $(2,3)$ 成分が $4$ であると表現する．

縦と横に並んだ数の個数が等しいとき，つまり正方形の形に並ぶとき，正方行列という． $(n,n)$ 型の正方行列を $n$ 次正方行列 という． 正方行列において，$(1,1),(2,2),(3,3),\cdots$ の成分を対角成分という． 対角成分以外の成分が $0$ である行列を 対角行列 という． 成分が $0$ のところは書かないで済ます場合もある．

ベクトルを一つの文字で置いたように，行列も一つの文字で置いて表す． $A,B$ など大文字で置かれるのが通例である．

同じ型の行列に対して，和，差を計算することができる． たとえば， $A=\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ 2& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 5\end{array}\right)$ のとき，

$A+B=\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ 2& -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4+1& 3+(-2)\\ 2+(-3)& -1+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -1& 4\end{array}\right)$

$A-B=\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ 2& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4-1& 3-(-2)\\ 2-(-3)& -1-5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 5\\ 5& -6\end{array}\right)$

というように，成分ごとに和，差を取る．また行列の実数倍は，

$3A=3\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3\cdot (-4)& 3\cdot 3\\ 3\cdot 2& 3\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-12& 9\\ 6& -3\end{array}\right)$

というように，各成分を定数倍して求める． 行列の和，差，実数倍はベクトルと同じようにして計算するわけである． すべての成分が $0$ の行列を零行列 といい $O$ で表す．

この行列の演算（和，差，実数倍）について，行列を文字で表すと次のような計算法則が成り立つ．

定理6 行列の計算法則

$A,B,C$ を同じ型の行列，$k,l$ を実数とすると次が成り立つ．

(1) $(A+B)+C=A+(B+C)$
(2) $A+B=B+A$
(3) $k(A+B)=kA+kB$
(4) $(k+l)A=kA+lA$
(5) $(kl)A=k(lA)$

これらが成り立つことは，ベクトルの計算法則から容易に想像がつくだろう． ベクトルであっても行列であっても，和は成分どうしの和，実数倍は成分ごとの実数倍だからである．

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計算問題をしてみよう．

演習4.$$

$A=\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ 2& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 5\end{array}\right)$ のとき，$2A-B-(3A-2B)$ を求めよ．

解答例

与式に直接代入してもかまわないが，せっかく計算法則があるのだから，同類項をまとめてから代入する．

$2A-B-(3A-2B)=2A-B-3A+2B=-A+B$
$=-\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ 2& -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 5\end{array}\right)$
$=\left(\begin{array}{cc}-(-4)+1& 3-2\\ -2-3& -(-1)+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ -5& 6\end{array}\right)$

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