制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/指数関数の場合

§1

前節の思いつきが成功したのは，割り算が常に割り切れたからである． 割り切れたのは $f(t)$ が $t$ の多項式であったからで， $f(t)$ を何回か微分すれば必ず $0$ となることが保証されているからにほかならない． そこで，何回微分しても決して $0$ にならない指数関数を $f(t)$ に選んでみよう．

例5$$ テンプレート:制御と振動の数学/equation

例によって $p=\frac{d}{dt}$ とおくと

となる．この割り算を実行しよう．

$\begin{array}{ccccccc}& & e^{at}& -a{e}^{at}& a^2{e}^{at}& -a^3{e}^{at}& \cdots \\ 1+p& )& e^{at}& & & & \\ & & e^{at}& a{e}^{at}& & & \\ & & & -a{e}^{at}& & & \\ & & & -a{e}^{at}& -a^2{e}^{at}& & \\ & & & & +a^2{e}^{at}& & \\ & & & & +a^2{e}^{at}& a^{3}eat& \\ & & & & & -a^3{e}^{at}& \\ & & & & & -a^3{e}^{at}& -a^4{e}^{at}\\ & & & & & & a^4{e}^{at}\end{array}$

$e^{at}/(1+p)=e^{at}\cdots \cdots -a{e}^{at}$

$-a{e}^{at}/(1+p)=-a{e}^{at}\cdots \cdots a^2{e}^{at}$

$a^2{e}^{at}/(1+p)=a^2{e}^{at}\cdots \cdots -a^3{e}^{at}$

$-a^3{e}^{at}/(1+p)=-a^3{e}^{at}\cdots \cdots a^4{e}^{at}$

これはいつまでたっても割り切れない．しかしここで諦めては長蛇を逸する． そこで $n$ 回，上の演算を実行すると，

を得る．したがって，

ならば，無限回の施行の後，

となって割り切れる．このとき商は，

となる．

験算

よって，この $x(t)$ は，初期条件 $x(0)=\frac{1}{1+a}$ をみたす解であることが分かった．

§2

上で行った験算は，$|a|<1$ でなくても，$x(t)$ が正しい解を与えることを示している．そこで，

の場合にも，正しいを解が得られるように工夫してみよう．$p$ で割るということは，積分するということであった． $e^{at}$ を積分すれば $\frac{e^{at}}{a}$ となる．$\frac{1}{a}$ のベキ級数は $|a|>1$ で収束する． そこで割り算を少し変形して、次のように $p$ から先に割っていこう．

$\begin{array}{ccccccc}& & \frac{1}{a}{e}^{at}& -\frac{1}{a^2}{e}^{at}& \frac{1}{a^3}{e}^{at}& & \cdots \\ p+1& )& e^{at}& & & & \\ & & e^{at}& \frac{1}{a}{e}^{at}& & & \\ & & & -\frac{1}{a}{e}^{at}& & & \\ & & & -\frac{1}{a}{e}^{at}& -\frac{1}{a^2}{e}^{at}& & \\ & & & & +\frac{1}{a^2}{e}^{at}& & \\ & & & & +\frac{1}{a^2}{e}^{at}& \frac{1}{a^3}eat& \\ & & & & & -\frac{1}{a^3}{e}^{at}& \end{array}$

$e^{at}÷(p+1)=\frac{1}{a}{e}^{at}\cdots \cdots -\frac{1}{a}{e}^{at}$

$-\frac{1}{a}{e}^{at}÷(p+1)=-\frac{1}{a^2}{e}^{at}\cdots \cdots \frac{1}{a^2}{e}^{at}$

$\frac{1}{a^2}{e}^{at}÷(p+1)=\frac{1}{a^3}{e}^{at}.....$

この演算を無限回続けると，$|a|>1$ であるから，商は収束して，

となる．

§3

$|a|=1$ の場合の考察は後まわしにして，これら 2 種の計算法の検討をしておこう．

$1^{\circ }$ $|a|<1$ の場合

$2^{\circ }$ $|a|>1$ の場合

このように $p$ の関数を $p$ あるいは $\frac{1}{p}$ で展開し，$p$ は微分，$\frac{1}{p}$ は積分と考えて形式的に計算すると，正しい答に導かれる．例えば例1は

となって同じ答を得る．

例6$$ $\frac{1}{p}$ で展開するとどうなるか．

解答例$$

と項が無限に生成されてしまい，うまくいかない．

§4

上に示した幾つかの例において，微分方程式の解は得られるには得られたが，まだ多くの問題点を残している． 手法のいかがわしさは暫くおくとしても，一つの方程式に対して一つの解しか得られず、任意の初期値を満たす解が得られないのは大きな欠陥である． このことは，次のような方程式

を取り扱うとき，深刻な問題となる．というのは，単に $p=\frac{d}{dt}$ と置いたのでは，

となって，得られた解 $x(t)\equiv 0$ は正しい解には違いないが，視察でも求まるつまらない解だからである．

さて $\frac{1}{p}$ を積分と考えることによって、色々な初期値が得られる可能性のあることを前に示唆しておいた．

そこで，ひとまず (1.5) を $0$ から $t$ で積分してみよう．

を得る．そこで，積分は微分 $p$ の逆演算であるという考えを一方深めて，改めて， テンプレート:制御と振動の数学/equation あるいは，もっと正確に， テンプレート:制御と振動の数学/equation と定義しなおすことにしよう．そうすれば式 (1.6) は， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．初期値 $x(0)$ が入ってきたところが，単に $\frac{d}{dt}=p$ とおいた場合と根本的に異なっている． この式を $x$ について解き， テンプレート:制御と振動の数学/equation これを $\frac{1}{p}$ で展開すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る． さてここで定義 (1.7) に戻り， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation 以下同様にして， テンプレート:制御と振動の数学/equation が得られることに注意すると，式 (1.8) は テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．上の式の（　）内は $e^{at}$ の Taylor 展開である．よって， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．これが式 (1.5) の正しい解であることは明らかである．

どうやら我々は満足するべき解法にかなり近づいたようである．次節でもう少し掘り下げて考えてみよう．