線型代数学/行列と行列式/第三類/外積

内積があるのなら外積があってもいいのでは，と思っている人もいることだろう．単に「外積」と呼ばれることもある，3次元実数ベクトルについての外積，すなわち「ベクトル積」を紹介する．

定義3 外積

$R^{3}$ のベクトル $\vec{a} = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ ， $\vec{b} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$ に関して、 $\vec{a} \times \vec{b}$ を次で定める．

$\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} b z - c y \\ c x - a z \\ a y - b x \end{matrix})$

ベクトル積は 3 次元ベクトルの場合のみについて定義される演算である。

定義のとおりだが、実際の計算は図に示したように第 1 成分を下に付け加え， ×の形に積を取り，使っていない成分に押し込むという感じで技化しておくとよい．

ベクトル積に関して次の計算法則が成り立つ．交換法則が成り立たないことに注意する． $\vec{a} \times \vec{b}$ で $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を入れ替えると，符号が逆になる．

定理4 ベクトル積の計算法則

(1) $\vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a})$

(2) $k (\vec{a} \times \vec{b}) = (k \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k \vec{b})$

(3) $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

(4) $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$

証明

(1)

$\vec{a} = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ ， $\vec{b} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$ にて $\vec{b} \times \vec{a} = (\begin{matrix} y c - z b \\ z a - x c \\ x b - y a \end{matrix}) = (\begin{matrix} - (b z - c y) \\ - (c x - a z) \\ - (a y - b x) \end{matrix}) = - (\begin{matrix} b z - c y \\ c x - a z \\ a y - b x \end{matrix}) = - \vec{a} \times \vec{b}$ ．

(2)

$k (\vec{a} \times \vec{b}) = (\begin{matrix} k (b z - c y) \\ k (c x - a z) \\ k (a y - b x) \end{matrix}) = (\begin{matrix} k b z - k c y \\ k c x - k a z \\ k a y - k b x \end{matrix}) = (\begin{matrix} (k b) z - (k c) y \\ (k c) x - (k a) z \\ (k a) y - (k b) x \end{matrix}) = (k \vec{a}) \times \vec{b}$ ．

同様に $k (\vec{a} \times \vec{b}) = (\begin{matrix} k b z - k c y \\ k c x - k a z \\ k a y - k b x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b (k z) - c (k y) \\ c (k x) - a (k z) \\ a (k y) - b (k x) \end{matrix}) = \vec{a} \times (k \vec{b})$ ．

(3)

$\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ ， $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$ ， $\vec{c} = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix})$ にて

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} + c_{1} \\ b_{2} + c_{2} \\ b_{3} + c_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} (b_{3} + c_{3}) - a_{3} (b_{2} + c_{2}) \\ a_{3} (b_{1} + c_{1}) - a_{1} (b_{3} + c_{3}) \\ a_{1} (b_{2} + c_{2}) - a_{2} (b_{1} + c_{1}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} + a_{2} c_{3} - a_{3} b_{2} - a_{3} c_{2} \\ a_{3} b_{1} + a_{3} c_{1} - a_{1} b_{3} - a_{1} c_{3} \\ a_{1} b_{2} + a_{1} c_{2} - a_{2} b_{1} - a_{2} c_{1} \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} + a_{2} c_{3} - a_{3} c_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} + a_{3} c_{1} - a_{1} c_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} + a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix}) + (\begin{matrix} a_{2} c_{3} - a_{3} c_{2} \\ a_{3} c_{1} - a_{1} c_{3} \\ a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1} \end{matrix}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ ．

(4)

$(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = - \vec{c} \times (\vec{a} + \vec{b}) = - (\vec{c} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{b}) = - (- \vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$

$◼$

2次元ベクトル，3次元ベクトルの内積は，図形的な解釈が可能であった．ベクトル積が図形的には何を表しているかを紹介する．

定理5 ベクトル積の意味

(1) $\vec{a} \times \vec{b}$ は， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ の両方と直交する．

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張る平行四辺形の面積 $S$ は， $S = | \vec{a} \times \vec{b} |$

(3) $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ が張る平行六面体の体積 $V$ は， $V = | (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |$

証明

$\vec{a} = \vec{O A} = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ ， $\vec{b} = \vec{O B} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$ とする．

(1)

$\vec{a}$ と $\vec{a} \times \vec{b}$ の内積をとる．

$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b z - c y \\ c x - a z \\ a y - b x \end{matrix}) = a (b z - c y) + b (c x - a z) + c (a y - b x) = a b z - a c y + b c x - a b z + a c y - b c x$
$= a b z - a c y + b c x - a b z + a c y - b c x = 0$ ．

同様に

$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b z - c y \\ c x - a z \\ a y - b x \end{matrix}) = x (b z - c y) + y (c x - a z) + z (a y - b x) = b x z - c x y + c x y - a y z + a y z - b x z$
$= b x z - c x y + c x y - a y z + a y z - b x z = 0$ ．

よって， $\vec{a} \times \vec{b}$ は $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ の両方と直交する．

(2)

$\vec{a}$ ， $\vec{b}$ のなす角を $θ$ とすると，内積の性質より，

$| \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ = \vec{a} \cdot \vec{b} = a x + b y + c z$

$O A$ を底辺としたときの $B$ の高さを $h$ とすると，

$S = O A \times h = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin θ (∵ h = | \vec{b} | \sin θ)$

と表されるので，

$S^{2} = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} \sin^{2} θ = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} (1 - \cos^{2} θ) = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} - | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} \cos^{2} θ$

$| \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} \cos^{2} θ = (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = (a x + b y + c z)^{2}$ ，また $| \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} = (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ だから，

$S^{2} = (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (a x + b y + c z)^{2}$

$= a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} + a^{2} z^{2} + b^{2} x^{2} + b^{2} y^{2} + b^{2} z^{2} + c^{2} x^{2} + c^{2} y^{2} + c^{2} z^{2} - (a^{2} x^{2} + a b x y + a c x z + a b x y + b^{2} y^{2} + b c y z + a c x z + b c y z + c^{2} z^{2})$

$= a^{2} y^{2} + a^{2} z^{2} + b^{2} x^{2} + b^{2} z^{2} + c^{2} x^{2} + c^{2} y^{2} - (a b x y + a c x z + a b x y + b c y z + a c x z + b c y z)$

$= (b^{2} z^{2} - 2 b c y z + c^{2} y^{2}) + (c^{2} x^{2} - 2 a c x z + a^{2} z^{2}) + (a^{2} y^{2} - 2 a b x y + b^{2} x^{2})$

$= (b z - c y)^{2} + (c x - a z)^{2} + (a y - b x)^{2}$

$= | \vec{a} \times \vec{b} |^{2}$

なぜならば $| \vec{a} \times \vec{b} |^{2} = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = (\begin{matrix} b z - c y \\ c x - a z \\ a y - b x \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b z - c y \\ c x - a z \\ a y - b x \end{matrix}) = (b z - c y)^{2} + (c x - a z)^{2} + (a y - b x)^{2}$

よって， $S = | \vec{a} \times \vec{b} |$

(3) $\vec{c} = O C$ とする． $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ が張る平面を平行四辺形の底面としてみたときの $C$ の高さを $l$ ， $\vec{a} \times \vec{b}$ と $\vec{c}$ のなす角を $φ$ とすると，

$\vec{a} \times \vec{b}$ は $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ が張る平行四辺形に垂直なので，

$l = | O C \cos φ | = | \vec{c} | \cdot | \cos φ |$ だから，

$V = S l = | \vec{a} \times \vec{b} | \cdot | \vec{c} | \cdot | \cos φ | = | | \vec{a} \times \vec{b} | \cdot | \vec{c} | \cdot \cos φ | = | (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |$ ．

$◼$

演習1.

$\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix})$ ， $\vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})$ ， $\vec{c} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})$ のとき，

(1) $\vec{a} \times \vec{b}, (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ を求めよ．

(2) $\vec{a}, \vec{b}$ の両方と直交する単位ベクトルを求めよ．

(3) $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ とするとき，三角錐 $O - A B C$ の体積を求めよ．

解答例

(1) $\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} (- 3) \cdot 3 - 2 \cdot (- 2) \\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot (- 2) - (- 3) \cdot 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})$ ．

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\begin{matrix} - 5 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = - 5 \cdot (- 1) + 1 \cdot (- 1) + 4 \cdot 0 = 4$ .

(2) $\vec{a} \times \vec{b}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直なので， $\vec{d} = \vec{a} \times \vec{b}$ を単位化する.

$\pm \frac{1}{| \vec{d} |} \vec{d} = \pm \frac{1}{\sqrt{(- 5)^{2} + 1^{2} + 4^{2}}}$ $(\begin{matrix} - 5 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) = \pm \frac{1}{\sqrt{42}} (\begin{matrix} - 5 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})$ ．(解となるベクトルは二つ）

(3) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が張る平行六面体の体積 $V$ は，

$V = | (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = | 4 | = 4$

$\vec{a}, \vec{b}$ が張る平行四辺形の面積を $S$ ， $\vec{a}, \vec{b}$ が張る平行四辺形を底面として見たときの平行六面体の高さを $h$ とすると $V = S h$ であり，

（三角錐 $O - A B C$ の体積） $= \frac{1}{3} (\frac{1}{2} S) h = \frac{1}{6} V = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ．

$◼$

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