測度論的確率論/準備/集合/写像

写像

定義13. 二つの集合 $M, N$ が与えられているとする．任意の $a \in M$ に対して，ある $f (a) \in N$ が対応するとき $f$ を $M$ から $N$ への写像といい， $f : M \to N$ と表す．

定義14. $A \subset M$ に対し，

f (a) \equiv {f (a) \in N : a \in A}

を $A$ の（ $f$ による）像といい，特に $f (M) = N$ のときに $f$ を全射という．

定義15. 全射であるとは

任意の

b \in N

に対して

a \in M

で

b = f (a)

となるものが存在する．

定義14は定義15といってもよい．また $f$ が１対１，すなわち

定義16.

a, a^{'} \in M

で

f (a) = f (a^{'})

であれば

a = a^{'}

の成り立つときに $f$ は単射という．

さらに

定義17. $f$ が全射でありかつ単射のときに全単射という．

定義18. $A \subset N$ に対して

f^{- 1} (A) \equiv {a \in M : f (a) \in A}

のとき， $f^{- 1} (A)$ は $A$ の（ $f$ による）逆像という^[1]．

定義19. 特に $f$ が $M$ から $N$ への全単射であれば $b \in N$ に対して $b = f (a)$ となる $a \in M$ が一意的に定まるから $f^{- 1} (b) = a$ によって逆写像 $f^{- 1}$ を定義する．このとき $f^{- 1}$ も全単射であり，集合 $A \subset N$ による逆像は， $A$ の逆写像 $f^{- 1} (A)$ に一致する．

演習2. $M = [- 1, 1], N = 𝐑, f (a) = a^{2}$ とするとき $f ([0, \frac{1}{2}]), f^{- 1} ([0, \frac{1}{2}])$ を求めよ．

(解答例)

$f ([0, \frac{1}{2}]) = [0, \frac{1}{4}], f^{- 1} ([0, \frac{1}{2}]) = [- \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ ．

定理5. $f : M \to N$ について次の命題が成り立つ．

$A \subset M$ であれば $A \subset f^{- 1} (f (A))$

証明

$y \in f (A)$ とすると $f$ が単射でない場合 $f (x_{1}) = y$ である $x_{1} \in A$ が存在することは必要であるが，同時に $f (x_{2}) = y, x_{2} \in̸ A$ となる $x_{2} \in M$ が存在する可能性がある．よって $A \subset f^{- 1} (f (A)) \subset M$ ．

（証明終）

定理6. $f : M \to N$ について次の命題が成り立つ．

$A, B \subset M$ であれば $f (A \cup B) = f (A) \cup f (B)$ かつ $f (A \cap B) \subset f (A) \cap f (B)$ ．

証明

定義より任意の $y \in f (A \cup B)$ に対して，ある $x \in A \cup B$ で $y = f (x)$ となるものが存在する．このとき $x \in A$ または $x \in B$ であるから $y = f (x) \in f (A)$ または $y \in f (B)$ ．すなわち， $y \in f (A \cup B)$ ならば $y \in f (A)$ または $y \in f (B)$ ．よって $f (A \cup B) \subset f (A) \cup f (B)$ ．…①
逆は，明らかに $f (A) \subset f (A \cup B), f (B) \subset f (A \cup B)$ だから $f (A) \cup f (B) \subset f (A \cup B)$ ^[2]．…②
①②より $f (A \cup B) = f (A) \cup f (B)$

さらに $A \cap B \subset A, A \cap B \subset B$ であるから $f (A \cap B) \subset f (A) \cap f (B)$ ^[3]^[4]．（証明終）

定理7. $f : M \to N$ について次の命題が成り立つ．

$A, B \subset N$ であれば $f^{- 1} (A \cup B) = f^{- 1} (A) \cup f^{- 1} (B)$ ．

証明

定義より任意の $x \in f^{- 1} (A \cup B)$ について $f (x) \in A \cup B$ すなわち $f (x) \in A$ または $f (x) \in B$ となる．したがって $x \in f^{- 1} (A)$ または $x \in f^{- 1} (B)$ であり，ゆえに $f^{- 1} (A \cup B) \subset f^{- 1} (A) \cup f^{- 1} (B)$ ．逆はあきらかに $f^{- 1} (A) \subset f^{- 1} (A \cup B), f^{- 1} (B) \subset f^{- 1} (A \cup B)$ であるから $f^{- 1} (A) \cup f^{- 1} (B) \subset f^{- 1} (A \cup B)$ ^[5]．（証明終）

定理8. $f : M \to N$ について次の命題が成り立つ．

$A, B \subset N$ であれば $f^{- 1} (A \cap B) = f^{- 1} (A) \cap f^{- 1} (B)$ ．

証明

$x \in f^{- 1} (A) \cap f^{- 1} (B)$ のとき^[6] $x \in f^{- 1} (A)$ かつ $x \in f^{- 1} (B)$ ．ゆえに $f (x) \in A$ かつ $f (x) \in B$ ．ゆえに $f (x) \in A \cap B$ ．ゆえに $x \in f^{- 1} (A \cap B)$ ．すなわち $x \in f^{- 1} (A) \cap f^{- 1} (B)$ ならば $x \in f^{- 1} (A \cap B)$ だから $f^{- 1} (A) \cap f^{- 1} (B) \subset f^{- 1} (A \cap B)$ ．

逆については， $A \cap B \subset A$ かつ $A \cap B \subset B$ ，よって $f^{- 1} (A \cap B) \subset f^{- 1} (A), f^{- 1} (A \cap B) \subset f^{- 1} (B)$ より $f^{- 1} (A \cap B) \subset f^{- 1} (A) \cap f^{- 1} (B)$ ^[7]．（証明終）

定理9. $f : M \to N$ について次の命題が成り立つ．

$A \subset N$ であれば $f^{- 1} (A^{C}) = (f^{- 1} (A))^{C}$ ．

証明

（証明終）

↑ 逆像 $f^{- 1}$ は写像ではない．さらにこの定義を「 $f^{- 1} (A)$ は， $\forall x (x \in f^{- 1} (A) \to f (x) \in A)$ かつ $\forall x (x \in̸ f^{- 1} (a) \to f (x) \in̸ A)$ を満たす」と解釈する．
↑ $A \subset C$ かつ $B \subset C$ ならば $A \cup B \subset C$ ．
↑ $A \cap B \subset A$ かつ $A \cap B \subset B$ ，従って $f (A \cap B) \subset f (A)$ かつ $f (A \cap B) \subset f (B)$ ．これに「 $C \subset A$ かつ $C \subset B$ ならば $C \subset A \cap B$ 」を適用すれば， $f (A \cap B) \subset f (A) \cap f (B)$ が誘導される．
↑ 一方「 $f (A) \cap f (B) \subset f (A \cap B)$ 」とはいえない．例えば $f$ が単射でなく、 $x_{1} \in A$ で $y = f (x_{1})$ かつ同じ $y$ で $x_{2} \in B, x_{2} \in̸ A, y = f (x_{2})$ の場合、 $y = f (x_{1}), x_{1} \in A$ より $y \in f (A)$ ．それと同時に $y = f (x_{2}) \in B$ より $y \in f (B)$ でもある．すなわち、 $y \in f (A) \cap f (B)$ . つまり $f$ が単射でないので、 $x_{2} \in̸ A$ であっても $y = f (x_{2}), x_{2} \in B$ である限り $y \in f (A) \cap f (B)$ ．一つの $x \in M$ に対して $y = f (x)$ は必ず一つの値に定まるが、逆に一つの $y$ を決めるとその $y$ に対して $y = f (x)$ を満たす $x$ が複数存在する可能性があるという、そもそもの写像の定義に、この式が等号ではないことの理由の本質があり、これは定理5も同様である．実際演習2の $f$ にて $A = [- \frac{1}{\sqrt{2}}, 0), B = [0, + \frac{1}{\sqrt{2}}]$ のとき、 $f (A) \cap f (B) = [0, \frac{1}{2}], A \cap B = \emptyset, f (A) \cap f (B) \subset̸ f (A \cap B)$ ．
↑ $A \subset C, B \subset C ∴ A \cup B \subset C$
↑ さて，いきなり冒頭からこう書き下してしまってよいのだろうか？そもそも定理6 の後半部分は等号ではなかったというのに、 $f^{- 1} (A) \cap f^{- 1} (B) \neq \emptyset$ である保証はあるのだろうか？これは「逆像 $f^{- 1}$ は実は写像ではない」という点に注意して以下のように説明できる．
定義18 の註の定義を仮定すると， $f^{- 1} (A)$ および $f^{- 1} (B)$ は以下の4式をすべて満たす，すなわち
$\forall x (x \in f^{- 1} (A) \to f (x) \in A)$ …①， $\forall x (x \in̸ f^{- 1} (A) \to f (x) \in̸ A)$ …②， $\forall x (x \in f^{- 1} (B) \to f (x) \in B)$ …③， $\forall x (x \in̸ f^{- 1} (B) \to f (x) \in̸ B)$ …④．
特に②④より， $\forall x (x \in f^{- 1} (A) \lor f (x) \in̸ A)$ …②’， $\forall x (x \in f^{- 1} (B) \lor f (x) \in̸ B)$ …④’．今， $f (x) \in A \cap B$ であるとき $f (x) \in A$ ，したがって ②’が真となるためには $x \in f^{- 1} (A)$ が成立する必要がある．また同様に $f (x) \in B$ より ④’が真となるためには $x \in f^{- 1} (B)$ が成立する必要がある．以上より $f (x) \in A \cap B$ ならば $x \in f^{- 1} (A) \cap f^{- 1} (B)$ ．→すごくおかしい…検討が必要、ここでストップ
↑ $C \subset A, C \subset B ∴ C \subset A \cap B$ ．

[1] 逆像 $f^{- 1}$ は写像ではない．さらにこの定義を「 $f^{- 1} (A)$ は， $\forall x (x \in f^{- 1} (A) \to f (x) \in A)$ かつ $\forall x (x \in̸ f^{- 1} (a) \to f (x) \in̸ A)$ を満たす」と解釈する．

[2] $A \subset C$ かつ $B \subset C$ ならば $A \cup B \subset C$ ．

[3] $A \cap B \subset A$ かつ $A \cap B \subset B$ ，従って $f (A \cap B) \subset f (A)$ かつ $f (A \cap B) \subset f (B)$ ．これに「 $C \subset A$ かつ $C \subset B$ ならば $C \subset A \cap B$ 」を適用すれば， $f (A \cap B) \subset f (A) \cap f (B)$ が誘導される．

[4] 一方「 $f (A) \cap f (B) \subset f (A \cap B)$ 」とはいえない．例えば $f$ が単射でなく、 $x_{1} \in A$ で $y = f (x_{1})$ かつ同じ $y$ で $x_{2} \in B, x_{2} \in̸ A, y = f (x_{2})$ の場合、 $y = f (x_{1}), x_{1} \in A$ より $y \in f (A)$ ．それと同時に $y = f (x_{2}) \in B$ より $y \in f (B)$ でもある．すなわち、 $y \in f (A) \cap f (B)$ . つまり $f$ が単射でないので、 $x_{2} \in̸ A$ であっても $y = f (x_{2}), x_{2} \in B$ である限り $y \in f (A) \cap f (B)$ ．一つの $x \in M$ に対して $y = f (x)$ は必ず一つの値に定まるが、逆に一つの $y$ を決めるとその $y$ に対して $y = f (x)$ を満たす $x$ が複数存在する可能性があるという、そもそもの写像の定義に、この式が等号ではないことの理由の本質があり、これは定理5も同様である．実際演習2の $f$ にて $A = [- \frac{1}{\sqrt{2}}, 0), B = [0, + \frac{1}{\sqrt{2}}]$ のとき、 $f (A) \cap f (B) = [0, \frac{1}{2}], A \cap B = \emptyset, f (A) \cap f (B) \subset̸ f (A \cap B)$ ．

[5] $A \subset C, B \subset C ∴ A \cup B \subset C$

[6] さて，いきなり冒頭からこう書き下してしまってよいのだろうか？そもそも定理6 の後半部分は等号ではなかったというのに、 $f^{- 1} (A) \cap f^{- 1} (B) \neq \emptyset$ である保証はあるのだろうか？これは「逆像 $f^{- 1}$ は実は写像ではない」という点に注意して以下のように説明できる．
定義18 の註の定義を仮定すると， $f^{- 1} (A)$ および $f^{- 1} (B)$ は以下の4式をすべて満たす，すなわち
$\forall x (x \in f^{- 1} (A) \to f (x) \in A)$ …①， $\forall x (x \in̸ f^{- 1} (A) \to f (x) \in̸ A)$ …②， $\forall x (x \in f^{- 1} (B) \to f (x) \in B)$ …③， $\forall x (x \in̸ f^{- 1} (B) \to f (x) \in̸ B)$ …④．
特に②④より， $\forall x (x \in f^{- 1} (A) \lor f (x) \in̸ A)$ …②’， $\forall x (x \in f^{- 1} (B) \lor f (x) \in̸ B)$ …④’．今， $f (x) \in A \cap B$ であるとき $f (x) \in A$ ，したがって ②’が真となるためには $x \in f^{- 1} (A)$ が成立する必要がある．また同様に $f (x) \in B$ より ④’が真となるためには $x \in f^{- 1} (B)$ が成立する必要がある．以上より $f (x) \in A \cap B$ ならば $x \in f^{- 1} (A) \cap f^{- 1} (B)$ ．→すごくおかしい…検討が必要、ここでストップ

[7] $C \subset A, C \subset B ∴ C \subset A \cap B$ ．

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