線型代数学/行列と行列式/第三類/内積

中等課程では， $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を，矢印ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $θ$ として，

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ

と定義した．これは平面ベクトルの場合でも，空間ベクトルの場合でもそうだった．また，この式が成分計算では成分ごとの積の和に等しいこと（例えば， $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})$ であれば， $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ ）を、余弦定理などにより示した^[1]．

線形代数では，成分計算の定義の方が先になる．成分で定義しておけば，次元が $4$ 次以上のときベクトルのなす角のことを想像しなくても済む．

定義2 内積と大きさ

$n$ 次元実数ベクトル $𝐚 = (\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ ， $𝐛 = (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$ に関して、内積、大きさを次のように定める．

内積 $𝐚 \cdot 𝐛$ は， $𝐚 \cdot 𝐛 = (\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \dots + a_{n} b_{n}$ ．…①

$𝐚$ の大きさ $| 𝐚 |$ は， $| 𝐚 | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}$ ．…②

すると， $| 𝐚 |^{2} = 𝐚 \cdot 𝐚$ が成り立つ．…③

また， $𝐚 \neq 0, 𝐛 \neq 0$ である $𝐚, 𝐛$ について， $𝐚 \cdot 𝐛 = 0$ のとき，「 $𝐚$ と $𝐛$ は直交する」といい，「 $𝐚 ⊥ 𝐛$ 」と書く．

$◼$

$n = 2, 3$ のとき， $\vec{a}$ の大きさ $| \vec{a} |$ は，矢印ベクトルで言えば始点から終点までの長さを表していた． $n$ が $4$ 以上の場合もこれに倣って，同じような成分計算で表された $| 𝐚 |$ を大きさというわけである．

こうして定義した内積に関して，次のような計算法則が成り立つ．これも平面ベクトル・空間ベクトルでの経験から納得してもらえるだろう．

定理2 内積の計算法則

$n$ 次元ベクトル $𝐚, 𝐛, 𝐜$ と実数 $k$ に関して次が成り立つ．

(1) $(k 𝐚) \cdot 𝐛 = k (𝐚 \cdot 𝐛) = 𝐚 \cdot (k 𝐛)$

(2) $𝐚 \cdot (𝐛 + 𝐜) = 𝐚 \cdot 𝐛 + 𝐚 \cdot 𝐜$

(3) $(𝐚 + 𝐛) \cdot 𝐜 = 𝐚 \cdot 𝐜 + 𝐛 \cdot 𝐜$

証明

(1) の証明． $(k 𝐚) \cdot 𝐛 = \sum_{i = 1}^{n} (k a_{i}) b_{i}, k (𝐚 \cdot 𝐛) = k \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}, 𝐚 \cdot (k 𝐛) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (k b_{i})$ ．そして $\sum_{i = 1}^{n} (k a_{i}) b_{i} = k \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (k b_{i})$ より $(k 𝐚) \cdot 𝐛 = k (𝐚 \cdot 𝐛) = 𝐚 \cdot (k 𝐛)$ ．

(2)の証明． $𝐚 \cdot (𝐛 + 𝐜) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (b_{i} + c_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} b_{i} + a_{i} c_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} c_{i} = 𝐚 \cdot 𝐛 + 𝐚 \cdot 𝐜$ ．

(3)の証明． $(𝐚 + 𝐛) \cdot 𝐜 = \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i}) c_{i} = \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} c_{i} + b_{i} c_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} c_{i} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} c_{i} = 𝐚 \cdot 𝐜 + 𝐛 \cdot 𝐜$ ．

$◼$

$0$ でないベクトル $𝐚$ をその大きさで割ったベクトル $\frac{1}{| 𝐚 |} 𝐚$ は，大きさが $1$ になる．

{| \frac{1}{| 𝐚 |} 𝐚 |}^{2} = (\frac{1}{| 𝐚 |} 𝐚) \cdot (\frac{1}{| 𝐚 |} 𝐚)

^[2]

= \frac{1}{| 𝐚 |^{2}} (𝐚 \cdot 𝐚)

^[3]

= \frac{1}{| 𝐚 |^{2}} | 𝐚 |^{2} = 1

∴ | \frac{1}{| 𝐚 |} 𝐚 | = 1

$\pm \frac{1}{| 𝐚 |} 𝐚$ のことを単位化したベクトル，あるいは正規化したベクトルという．

平面ベクトルと空間ベクトルでの内積の定義は $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ$ であった．ここで，定義よりも突っ込んだ内積の図形的な意味を確認しておく．

$\vec{a} = O A, \vec{v} = O B$ として図を描く． $A$ から直線 $B$ に下ろした垂線の足を $H$ とする． $O B$ を左回りに回転して $O A$ に重なる角を $θ$ とする．^[4]

$O B$ に数直線^[5]を重ね合わせ， $O$ に数値 $0$ を割り当て目盛りを振ると， $H$ の目盛りは三角関数の定義から、 $O A \cos θ$ となる．

内積の式は，

\vec{a} \cdot \vec{b} = (| a | (\cos θ) | \vec{b} | = (O A \cos θ) O B = (H

の目盛り

) \times O B

と見なすことができる．

特に $\vec{b}$ が単位ベクトル $\vec{e}$ のときを考える． $\vec{b}$ をあらためて $\vec{e}$ とおく．

$O B = | \vec{b} | = | \vec{e} | = 1$ だから $\vec{a} \cdot \vec{e}$ は $H$ の目盛りを表すことになる． $\vec{a}$ と単位ベクトル $\vec{e}$ との内積は $\vec{a}$ の $\vec{e}$ 方向の成分を表している．

定理3 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の意味

$\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{e}, \vec{e}$ は単位ベクトルとする．直線 $O B$ に重ねた数直線に $A$ から下ろした垂線の足を $H$ とすると、

\vec{a} \cdot \vec{b} = (H

の目盛り）

証明すでに記述した．

$◼$

↑ 平面上の三角形 $△ O A B, A \neq B$ において， $\vec{O A}$ と $\vec{O B}$ の成す角を $θ$ と置くとき，
$\vec{O A}$ と $\vec{O B}$ の内積を $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = | \vec{O A} | | \vec{O B} | \cos θ$ …① と定義する．
このとき余弦定理により $| \vec{A B} |^{2} = | \vec{O A} |^{2} + | \vec{O B} |^{2} - 2 | \vec{O A} | | \vec{O B} | \cos θ$ …②
また， $\vec{O A}$ の成分表示を $\vec{O A} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix})$ ，同様に $\vec{O B} = (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \end{matrix})$
とすれば，①②をもとに内積 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y}$ であることを以下に示す．すなわち

①②より
$| \vec{A B} |^{2} = | \vec{O A} |^{2} + | \vec{O B} |^{2} - 2 \vec{O A} \cdot \vec{O B}$
$\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \frac{1}{2} (| \vec{O A} |^{2} + | \vec{O B} |^{2} - | \vec{A B} |^{2})$ …③
ここで③の右辺の $| \vec{O A} |^{2}, | \vec{O B} |^{2}, | \vec{A B} |^{2}$ を成分表示に展開すると、
$| \vec{O A} |^{2} = a_{x}^{2} + a_{y}^{2}, | \vec{O B} |^{2} = b_{x}^{2} + b_{y}^{2}, | \vec{A B} |^{2} = (a_{x} - b_{x})^{2} + (a_{y} - b_{y})^{2}$
すなわち、
$\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \frac{1}{2} {a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + b_{x}^{2} + b_{y}^{2} - (a_{x} - b_{x})^{2} - (a_{y} - b_{y})^{2}}$
$= \frac{1}{2} {a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + b_{x}^{2} + b_{y}^{2} - (a_{x}^{2} + b_{x}^{2} - 2 a_{x} b_{x} + a_{y}^{2} + b_{y}^{2} - 2 a_{y} b_{y})}$
$= \frac{1}{2} {a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + b_{x}^{2} + b_{y}^{2} - (a_{x}^{2} + b_{x}^{2} - 2 a_{x} b_{x} + a_{y}^{2} + b_{y}^{2} - 2 a_{y} b_{y})}$
$= a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y}$
↑ $(∵$ 定義2③ $)$
↑ $(\frac{1}{| 𝐚 |} 𝐚) \cdot (\frac{1}{| 𝐚 |} 𝐚) = \frac{1}{| 𝐚 |} (𝐚 \cdot (\frac{1}{| 𝐚 |} 𝐚)) (∵$ 定理2(1)第1項と第2項 $)$ $= \frac{1}{| 𝐚 |} (\frac{1}{| 𝐚 |} (𝐚 \cdot 𝐚)) (∵$ 定理2(1)第2項と第3項 $)$ $= \frac{1}{| 𝐚 |^{2}} (𝐚 \cdot 𝐚)$ （式の整理）
↑ 「 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ とのなす角を $θ$ とする」をより正確に記述した．
↑ 「目盛りがついたものさし」のイメージである．

[1] 平面上の三角形 $△ O A B, A \neq B$ において， $\vec{O A}$ と $\vec{O B}$ の成す角を $θ$ と置くとき，
$\vec{O A}$ と $\vec{O B}$ の内積を $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = | \vec{O A} | | \vec{O B} | \cos θ$ …① と定義する．
このとき余弦定理により $| \vec{A B} |^{2} = | \vec{O A} |^{2} + | \vec{O B} |^{2} - 2 | \vec{O A} | | \vec{O B} | \cos θ$ …②
また， $\vec{O A}$ の成分表示を $\vec{O A} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix})$ ，同様に $\vec{O B} = (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \end{matrix})$
とすれば，①②をもとに内積 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y}$ であることを以下に示す．すなわち

①②より
$| \vec{A B} |^{2} = | \vec{O A} |^{2} + | \vec{O B} |^{2} - 2 \vec{O A} \cdot \vec{O B}$
$\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \frac{1}{2} (| \vec{O A} |^{2} + | \vec{O B} |^{2} - | \vec{A B} |^{2})$ …③
ここで③の右辺の $| \vec{O A} |^{2}, | \vec{O B} |^{2}, | \vec{A B} |^{2}$ を成分表示に展開すると、
$| \vec{O A} |^{2} = a_{x}^{2} + a_{y}^{2}, | \vec{O B} |^{2} = b_{x}^{2} + b_{y}^{2}, | \vec{A B} |^{2} = (a_{x} - b_{x})^{2} + (a_{y} - b_{y})^{2}$
すなわち、
$\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \frac{1}{2} {a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + b_{x}^{2} + b_{y}^{2} - (a_{x} - b_{x})^{2} - (a_{y} - b_{y})^{2}}$
$= \frac{1}{2} {a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + b_{x}^{2} + b_{y}^{2} - (a_{x}^{2} + b_{x}^{2} - 2 a_{x} b_{x} + a_{y}^{2} + b_{y}^{2} - 2 a_{y} b_{y})}$
$= \frac{1}{2} {a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + b_{x}^{2} + b_{y}^{2} - (a_{x}^{2} + b_{x}^{2} - 2 a_{x} b_{x} + a_{y}^{2} + b_{y}^{2} - 2 a_{y} b_{y})}$
$= a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y}$

[2] $(∵$ 定義2③ $)$

[3] $(\frac{1}{| 𝐚 |} 𝐚) \cdot (\frac{1}{| 𝐚 |} 𝐚) = \frac{1}{| 𝐚 |} (𝐚 \cdot (\frac{1}{| 𝐚 |} 𝐚)) (∵$ 定理2(1)第1項と第2項 $)$ $= \frac{1}{| 𝐚 |} (\frac{1}{| 𝐚 |} (𝐚 \cdot 𝐚)) (∵$ 定理2(1)第2項と第3項 $)$ $= \frac{1}{| 𝐚 |^{2}} (𝐚 \cdot 𝐚)$ （式の整理）

[4] 「 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ とのなす角を $θ$ とする」をより正確に記述した．

[5] 「目盛りがついたものさし」のイメージである．

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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