測度論的確率論/準備/集合/集合

集合

集合とは，「数学的に明確に定義された対象の集まり」をいう．「数学的に明確に定義された」ということは，一つの対象を持ってきたときに，その集合に属しているか，それとも属していないかが明確に示されることをいう．例えば「実数空間上に定義された滑らかな関数全体」は集合でない．なぜなら，どのような関数を「滑らか」というかがはっきりしていないからである．しかし「実数空間上に定義された各点で微分可能な関数全体」は集合である．集合を構成する対象を要素または元という．

以下 $M, N, A, B, Ω$ 等の記号は集合を表すものとする．

定義1. $a$ が集合 $M$ に属する元であることを $a \in M$ と記す．

定義2. $a$ が集合 $M$ に属する元でないことを $a \notin M$ と記す．

定義3. 集合 $M$ が集合 $N$ に含まれるとは

M

に属する任意の元が

N

に属すること

をいい， $M \subset N$ または $N \supset M$ と記す．

定義4. 集合 $M$ と集合 $N$ が一致するとは

M \subset N

かつ

N \subset M

なること

をいい， $M = N$ と記す．

定義5. 集合 $M$ と集合 $N$ の和集合 $M \cup N$ とは

M

または

N

に属する元全体の集合

をいう．

定義6. 集合 $M$ と集合 $N$ の共通集合 $M \cap N$ とは

M

と

N

の両方に属する元全体の集合

をいう．

定義7. 同様に集合列 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots$ に対して，どれかの $A_{n}$ に属する元全体の集合を $⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ と表す．

定義8. 集合列 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots$ に対して，すべての $A_{n}$ に属する元全体の集合を $⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ と表す．

定義9. また「元を持たない集合」を空集合 といい $\emptyset$ で表す．任意の集合 $M$ について $\emptyset \subset M, M \cup \emptyset = M, M \cap \emptyset = \emptyset$ である．

定理1. $A, B, C$ を集合とするとき

(1) $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$

(2) $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$

証明

(1) $x$ を $(A \cup B) \cap C$ に属する任意の元とする． $x \in A \cup B$ かつ $x \in C$ ．すなわち $(x \in A$ または $x \in B)$ 　かつ $x \in C$ ．これは $x \in A \cap C$ または $x \in B \cap C$ となり， $x \in (A \cap C) \cup (B \cap C)$ すなわち $(A \cup B) \cap C \subset (A \cap C) \cup (B \cap C)$ ．…①

逆に $A \subset A \cup B$ ， $B \subset A \cup B$ より $A \cap C \subset (A \cup B) \cap C$ ， $B \cap C \subset (A \cup B) \cap C$ ．（ $X \subset Z$ かつ $Y \subset Z$ ならば $X \cup Y \subset Z$ だから） $(A \cap C) \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap C$ ．…②

①②より $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ ．

(2)(1)に対して定理3を先取りして適用する． $((A \cup B) \cap C)^{C} = ((A \cap C) \cup (B \cap C))^{C}$ ． $∴ (A \cup B)^{C} \cup C^{C} = (A \cap C)^{C} \cap (B \cap C)^{C}$ ． $∴ (A^{C} \cap B^{C}) \cup C^{C} = (A^{C} \cup C^{C}) \cap (B^{C} \cup C^{C})$ ．（証明終）

定理2. $A, A_{n}, n \in N$ を集合とするとき

(1) $(⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A = ⋃_{n = 1}^{\infty} (A_{n} \cap A)$

(2) $(⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cup A = ⋂_{n = 1}^{\infty} (A_{n} \cup A)$

証明

(1)の証明． $x \in (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A$ とすると， $x \in ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ かつ $x \in A$ ，したがって，ある（少なくとも一つの） $n_{0} \in 𝐍$ について $x \in A_{n_{0}}$ かつ $x \in A$ ．すなわち $x \in A_{n_{0}} \cap A \subset \cup_{n = 1}^{\infty} (A_{n} \cap A)$ であり，これにより $(⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A \subset ⋃_{n = 1}^{\infty} (A_{n} \cap A)$ ．…①

逆に任意の $m \in N$ について $A_{m} \subset ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ であるから $A_{m} \cap A \subset (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A$ となり（ $A \subset Z, B \subset Z, C \subset Z$ ならば $A \cup B \cup C \subset Z$ と同じ理由で，） $⋃_{n = 1}^{\infty} (A_{n} \cap A) \subset (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A$ ．^[1]…②

①②より(1)は証明された．

(2)の証明．(1) に定理3を先取りではあるが適用する。

(1)より ${((⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A)}^{C} = {(⋃_{n = 1}^{\infty} (A_{n} \cap A))}^{C}$ ． $∴ {(⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n})}^{C} \cup A^{C} = ⋂_{n = 1}^{\infty} {(A_{n} \cap A)}^{C}$ ． $∴ (⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n}^{C}) \cup A^{C} = ⋂_{n = 1}^{\infty} (A_{n}^{C} \cup A^{C})$ ．（証明終）

定義9. ある集合 $Ω$ の部分集合全体をなす集合を $℘ (Ω)$ と記す．したがって $A \in ℘ (Ω)$ は $A \subset Ω$ を意味している．特に $\emptyset \in ℘ (Ω), Ω \in ℘ (Ω)$ である．

定義10. また 1 点 $ω \in Ω$ だけからなる $Ω$ の部分集合を ${ω}$ ，あるいは簡単のため $ω$ とも書く．

定義11. $A \in ℘ (Ω)$ に対して

A^{C} \equiv {a \in Ω | a \in̸ A}

を $A$ の補集合という．明らかに $(A^{C})^{C} = A$ である．

定義12. $A, B \in ℘ (Ω)$ に対して

A ∖ B \equiv A \cap B^{C} = {a \in A : a \in̸ B}

を集合 $A$ と集合 $B$ の差，また

A △ B \equiv (A \cup B) ∖ (A \cap B)

を集合 $A$ と集合 $B$ の対称差という．

演習1. $Ω \equiv (0, 1] \times (0, 1] (\subset 𝐑^{2}), A \equiv (0, 1] \times (0, \frac{1}{2}], B \equiv (0, \frac{1}{2}] \times (0, 1]$ とするとき， $A \cup B, A \cap B, A ∖ B, A △ B$ を図示せよ．

(解答) 略

定理3. $A, B \in ℘ (Ω)$ とするとき，次の命題が成り立つ．

(1) $(A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C}$

(2) $(A \cap B)^{C} = A^{C} \cup B^{C}$

証明

(1)を証明する． $x \in (A \cup B)^{C}$ とすると $x \in̸ A \cup B$ すなわち $x \in̸ A$ かつ $x \in̸ B$ である．ゆえに $x \in A^{C} \cap B^{C}$ したがって $(A \cup B)^{C} \subset A^{C} \cap B^{C}$ が示された．

逆に $x \in A^{C} \cap B^{C}$ であれば $X \in̸ A$ かつ $X \in̸ B$ したがって $x \in (A \cup B)^{C}$ となり $A^{C} \cap B^{C} \subset (A \cup B)^{C}$ が示された．

(2)を証明する． (1)に $(A^{C})^{C} = A$ を適用する． (1) より $((A \cup B)^{C})^{C} = (A^{C} \cap B^{C})^{C}$ すなわち $A \cup B = (A^{C} \cap B^{C})^{C}$ ． $A = (A^{C})^{C}, B = (B^{C})^{C}$ だから $(A^{C})^{C} \cup (B^{C})^{C} = (A^{C} \cap B^{C})^{C}$ ． $A^{C}$ をあらためて $A$ ， $B^{C}$ を $B$ と書き直せば $A^{C} \cup B^{C} = (A \cap B)^{C}$ ．（証明終）

定理3 はつぎのように一般化される．

定理4. $A_{n} \in ℘ (Ω), n = 1, 2, 3, \dots,$ とするとき，次の命題が成り立つ．

(1) ${(⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n})}^{C} = ⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n}^{C}$

(2) ${(⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n})}^{C} = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}^{C}$

証明

(1) ${(⋃_{n = 1}^{m} A_{n})}^{C} = {(⋃_{n = 1}^{m - 1} A_{n} \cup A_{m})}^{C} = {(⋃_{n = 1}^{m - 1} A_{n})}^{C} \cap A_{m}^{C} = {(⋃_{n = 1}^{m - 2} A_{n})}^{C} \cap A_{m - 1}^{C} \cap A_{m}^{C} = A_{1}^{C} \cap A_{2}^{C} \cap A_{3}^{C} \cap \dots A_{m}^{C} = ⋂_{n = 1}^{m} A_{n}^{C}$

(2) ${(⋂_{n = 1}^{m} A_{n})}^{C} = {(⋂_{n = 1}^{m - 1} A_{n} \cap A_{m})}^{C} = {(⋂_{n = 1}^{m - 1} A_{n})}^{C} \cup A_{m}^{C} = {(⋂_{n = 1}^{m - 2} A_{n})}^{C} \cup A_{m - 1}^{C} \cup A_{m}^{C} = A_{1}^{C} \cup A_{2}^{C} \cup A_{3}^{C} \cup \dots A_{m}^{C} = ⋃_{n = 1}^{m} A_{n}^{C}$

(証明終）

↑ さらにパラフレーズする．
任意の $m$ について $A_{m} \cap A \subset (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A$
すなわち，
$A_{1} \cap A \subset (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A$ …①
$A_{2} \cap A \subset (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A$ …②
$A_{3} \cap A \subset (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A$ …③
$\dots$
各式の左辺の変化している部分に着目する．それは $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots$ であり，今，左辺の和集合を考えると $(A_{1} \cap A) \cup (A_{2} \cap A) \cup (A_{3} \cap A) \cup \dots$ であるが，
①②③…，により $A_{1} \cap A$ はある集合 $Z$ に対して $A_{1} \cap A \subset Z$ だといっている．
同様に $A_{2} \cap A \subset Z, A_{3} \cap A \subset Z, \dots$ だといっている．したがって $(A_{1} \cap A) \cup (A_{2} \cap A) \cup (A_{3} \cap A) \cup \dots \subset Z = (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A$ といえることになるであろう．

[1] さらにパラフレーズする．
任意の $m$ について $A_{m} \cap A \subset (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A$
すなわち，
$A_{1} \cap A \subset (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A$ …①
$A_{2} \cap A \subset (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A$ …②
$A_{3} \cap A \subset (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A$ …③
$\dots$
各式の左辺の変化している部分に着目する．それは $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots$ であり，今，左辺の和集合を考えると $(A_{1} \cap A) \cup (A_{2} \cap A) \cup (A_{3} \cap A) \cup \dots$ であるが，
①②③…，により $A_{1} \cap A$ はある集合 $Z$ に対して $A_{1} \cap A \subset Z$ だといっている．
同様に $A_{2} \cap A \subset Z, A_{3} \cap A \subset Z, \dots$ だといっている．したがって $(A_{1} \cap A) \cup (A_{2} \cap A) \cup (A_{3} \cap A) \cup \dots \subset Z = (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \cap A$ といえることになるであろう．

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