初等整数論/ルーカス数列/基本的な関係式の証明

ルーカス数列に関する基本的な関係式の証明をここで行う。

関係式 1

（二次の関係式）

$\begin{array}{cc}{V}_n^2-D{U}_n^2=& 4Q^n,\\ U_n^2-U_{n-1}{U}_{n+1}=& -Q^{n-1}.\end{array}$

証明
$D=(\alpha -\beta {)}^2$ より

$({\alpha }^n+{\beta }^n{)}^2-({\alpha }^n-{\beta }^n{)}^2=4{\alpha }^n{\beta }^n=4Q^n$

となり、前の式が導かれる。後の式は

$U_n^2-U_{n-1}{U}_{n+1}=\frac{({\alpha }^n-{\beta }^n{)}^2-({\alpha }^{n-1}-{\beta }^{n-1})({\alpha }^{n+1}-{\beta }^{n+1})}{(\alpha -\beta {)}^2}$

となるところ、右辺の分子は

$=-2{\alpha }^n{\beta }^n-(-{\alpha }^{n-1}{\beta }^{n+1}-{\alpha }^{n+1}{\beta }^{n-1})={\alpha }^{n-1}{\beta }^{n-1}(\alpha -\beta {)}^2=Q^{n-1}(\alpha -\beta {)}^2$

となることから確かめられる。

関係式 2

（添字の加法）

$\begin{array}{cc}2U_{m+n}=& U_m{V}_n+U_n{V}_m,\\ 2Q^n{U}_{m-n}=& U_m{V}_n-U_n{V}_m,\\ U_{m+n}=& U_m{U}_{n+1}-Q{U}_{m-1}{U}_n,\\ 2V_{m+n}=& V_m{V}_n+D{U}_m{U}_n.\end{array}$

証明

$\begin{array}{cc}{U}_m{V}_n+U_n{V}_m=& \frac{({\alpha }^m-{\beta }^m)({\alpha }^n+{\beta }^n)+({\alpha }^n-{\beta }^n)({\alpha }^m+{\beta }^m)}{\alpha -\beta }\\ =& \frac{({\alpha }^{m+n}-{\beta }^{m+n}+{\alpha }^m{\beta }^n-{\alpha }^n{\beta }^m)+({\alpha }^{m+n}-{\beta }^{m+n}+{\alpha }^n{\beta }^m-{\alpha }^m{\beta }^n)}{\alpha -\beta }\\ =& \frac{2({\alpha }^{m+n}-{\beta }^{m+n})}{\alpha -\beta }\\ =& 2U_{m+n}\end{array}$

および

$\begin{array}{cc}{U}_m{V}_n-U_n{V}_m=& \frac{({\alpha }^m-{\beta }^m)({\alpha }^n+{\beta }^n)-({\alpha }^n-{\beta }^n)({\alpha }^m+{\beta }^m)}{\alpha -\beta }\\ =& \frac{({\alpha }^{m+n}-{\beta }^{m+n}+{\alpha }^m{\beta }^n-{\alpha }^n{\beta }^m)-({\alpha }^{m+n}-{\beta }^{m+n}+{\alpha }^n{\beta }^m-{\alpha }^m{\beta }^n)}{\alpha -\beta }\\ =& \frac{2({\alpha }^m{\beta }^n-{\alpha }^n{\beta }^m)}{\alpha -\beta }=\frac{2{\alpha }^n{\beta }^n({\alpha }^{m-n}-{\beta }^{m-n})}{\alpha -\beta }\\ =& 2Q^n{U}_{m-n}\end{array}$

により、最初の2つの式は証明される。

3つめの式は

$U_m{U}_{n+1}-Q{U}_{m-1}{U}_n=\frac{({\alpha }^m-{\beta }^m)({\alpha }^{n+1}-{\beta }^{n+1})-\alpha \beta ({\alpha }^{m-1}-{\beta }^{m-1})({\alpha }^n-{\beta }^n)}{(\alpha -\beta {)}^2}$

となるところ、右辺の分子は

$\begin{array}{cc}=& ({\alpha }^{m+n+1}+{\beta }^{m+n+1}-{\alpha }^m{\beta }^{n+1}-{\alpha }^{n+1}{\beta }^m)-({\alpha }^{m+n}\beta +\alpha {\beta }^{m+n}-{\alpha }^m{\beta }^{n+1}-{\alpha }^{n+1}{\beta }^m)\\ =& ({\alpha }^{m+n+1}+{\beta }^{m+n+1})-({\alpha }^{m+n}\beta +\alpha {\beta }^{m+n})\\ =& (\alpha -\beta )({\alpha }^{m+n}-{\beta }^{m+n})\end{array}$

となることから、結局

$\begin{array}{c}{U}_m{U}_{n+1}-Q{U}_{m-1}{U}_n=\frac{{\alpha }^{m+n}-{\beta }^{m+n}}{\alpha -\beta }=U_{m+n}.\end{array}$

となることより確かめられる。

また $D=(\alpha -\beta {)}^2$ より

$V_m{V}_n+D{U}_m{U}_n=({\alpha }^m+{\beta }^m)({\alpha }^n+{\beta }^n)+({\alpha }^m-{\beta }^m)({\alpha }^n-{\beta }^n)=2({\alpha }^{m+n}+{\beta }^{m+n})$

が成り立つ。

関係式 3

（添字の加法その2）

$\begin{array}{cc}{U}_{m+n}=& U_m{V}_n-Q^n{U}_{m-n},\\ V_{m+n}=& V_m{V}_n-Q^n{V}_{m-n}=D{U}_m{U}_n+Q^n{V}_{m-n}.\end{array}$

証明
前の式は

$\begin{array}{cc}{U}_m{V}_n-Q^n{U}_{m-n}=& \frac{({\alpha }^m-{\beta }^m)({\alpha }^n+{\beta }^n)-{\alpha }^n{\beta }^n({\alpha }^{m-n}-\beta m-n)}{\alpha -\beta }\\ =& \frac{{\alpha }^{m+n}-{\beta }^{m+n}+{\alpha }^n{\beta }^n({\alpha }^{m-n}-{\beta }^{m-n})-{\alpha }^n{\beta }^n({\alpha }^{m-n}-\beta m-n)}{\alpha -\beta }\\ =& \frac{{\alpha }^{m+n}-{\beta }^{m+n}}{\alpha -\beta }\\ =& U_{m+n}\end{array}$

により確かめられる。後の式は

$V_m{V}_n-Q^n{V}_{m-n}=({\alpha }^m+{\beta }^m)({\alpha }^n+{\beta }^n)-{\alpha }^n{\beta }^n({\alpha }^{m-n}+{\beta }^{m-n})={\alpha }^{m+n}+{\beta }^{m+n}$

および

$D{U}_m{U}_n+Q^n{V}_{m-n}=({\alpha }^m-{\beta }^m)({\alpha }^n-{\beta }^n)+{\alpha }^n{\beta }^n({\alpha }^{m-n}+{\beta }^{m-n})={\alpha }^{m+n}+{\beta }^{m+n}$

により確かめられる。

関係式 4

$\begin{array}{cc}D{U}_n=& V_{n+1}-Q{V}_{n-1},\\ V_n=& U_{n+1}-Q{U}_{n-1}.\end{array}$

証明

$V_{n+1}-Q{V}_{n-1}={\alpha }^{n+1}+{\beta }^{n+1}-\alpha \beta ({\alpha }^{n-1}+\beta n-1)=(\alpha -\beta )({\alpha }^n-{\beta }^n)$

および $D=(\alpha -\beta {)}^2$ より前の式が確かめられる。また

$U_{n+1}-Q{U}_{n-1}=\frac{{\alpha }^{n+1}-{\beta }^{n+1}-\alpha \beta ({\alpha }^{n-1}-{\beta }^{n-1})}{\alpha -\beta }$

となるところ、右辺の分子は

$(\alpha -\beta )({\alpha }^n+{\beta }^n)$

に一致するので、後の式も確かめられる。

関係式 5

（添字2倍公式）

$\begin{array}{cc}{U}_{2n}=& U_n{V}_n,\\ V_{2n}=& V_n-2Q^n.\end{array}$

証明
関係式 2, 3 から導かれるが、

$\begin{array}{cc}{U}_{2n}=& \frac{{\alpha }^{2n}-{\beta }^{2n}}{\alpha -\beta }=\frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\alpha -\beta }\cdot ({\alpha }^n+{\beta }^n)=U_n{V}_n,\\ V_{2n}=& {\alpha }^{2n}+{\beta }^{2n}=({\alpha }^n+{\beta }^n{)}^2-2(\alpha \beta {)}^n=V_n-2Q^n.\end{array}$

により直接確かめることもできる。

関係式 6

（添字3倍公式）

$\begin{array}{cc}{U}_{3n}=& U_n(V_n^2-Q^n)=U_n(D{U}_n^2+3Q^n),\\ V_{3n}=& V_n(V_n^2-3Q^n).\end{array}$

証明

$\begin{array}{cc}{U}_{3n}=& \frac{{\alpha }^{3n}-{\beta }^{3n}}{\alpha -\beta }=\frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\alpha -\beta }\cdot ({\alpha }^{2n}+{\alpha }^n{\beta }^n+{\beta }^{2n})\\ =& U_n(({\alpha }^n+{\beta }^n{)}^2-(\alpha \beta {)}^n)=U_n(V_n^2-Q^n)\\ =& U_n(({\alpha }^n-{\beta }^n{)}^2+3(\alpha \beta {)}^n)=U_n(D{U}_n^2+3Q^n),\end{array}$

$V_{3n}={\alpha }^{3n}+{\beta }^{3n}=({\alpha }^n+{\beta }^n{)}^3-3(\alpha \beta {)}^n({\alpha }^n+{\beta }^n)=V_n(V_n^2-3Q^n).$

により確かめられる。

二項展開に関する等式

より一般的な、添字の乗法について考えたい。そのために、まず、次の等式が成り立つことを見る。 m が偶数のとき

$\begin{array}{cc}(X+Y{)}^m=& \sum _{r=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})X^r{Y}^{m-r}\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(X^r{Y}^{m-r}+X^{m-r}{Y}^r)+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2})(XY{)}^{\frac{m}{2}}\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(XY{)}^r(X^{m-2r}+Y^{m-2r})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2})(XY{)}^{\frac{m}{2}},\cdots (\mathrm{\#})\end{array}$

m が奇数のとき

$\begin{array}{cc}(X+Y{)}^m=& \sum _{r=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})X^r{Y}^{m-r}\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(X^r{Y}^{m-r}+X^{m-r}{Y}^r)\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(XY{)}^r(X^{m-2r}+Y^{m-2r}).\cdots (\mathrm{♭})\end{array}$

関係式 7

（奇数乗の展開） m が奇数のとき

$\begin{array}{cc}{D}^{\frac{m-1}{2}}{U}_k^m=& \sum _{r=0}^{\frac{m-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(-1{)}^r{Q}^{kr}{U}_{k(m-2r)}\\ =& U_{km}-(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})Q^k{U}_{k(m-2)}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2})Q^{2k}{U}_{k(m-4)}-\cdots +(-1{)}^{\frac{m-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{(m-1)/2})Q^{\frac{m-1}{2}k}{U}_k\end{array}$

および

$\begin{array}{cc}{V}_k^m=& \sum _{r=0}^{\frac{m-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})Q^{kr}{V}_{k(m-2r)}\\ =& U_{km}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})Q^k{V}_{k(m-2)}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2})Q^{2k}{V}_{k(m-4)}+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{(m-1)/2})Q^{\frac{m-1}{2}k}{V}_k.\end{array}$

証明

$D^{\frac{m-1}{2}}{U}_k^m=(\alpha -\beta {)}^{m-1}\cdot \frac{({\alpha }^k-{\beta }^k{)}^m}{(\alpha -\beta {)}^m}=\frac{({\alpha }^k-{\beta }^k{)}^m}{\alpha -\beta },$

ここで、等式 $(\mathrm{♭})$ より

$\begin{array}{cc}\frac{({\alpha }^k-{\beta }^k{)}^m}{\alpha -\beta }=& \sum _{r=0}\frac{m-1}{2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(-(\alpha \beta {)}^k{)}^r\cdot \frac{{\alpha }^{k(m-2r)}-{\beta }^{k(m-2r)}}{\alpha -\beta }\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(-1{)}^r{Q}^{kr}{U}_{k(m-2r)}.\end{array}$

が成り立つ。同様に

$\begin{array}{cc}{V}_k^m=& ({\alpha }^k+{\beta }^k{)}^m\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(\alpha \beta {)}^{kr}({\alpha }^{k(m-2r)}+{\beta }^{k(m-2r)})\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})Q^{kr}{V}_{k(m-2r)}.\end{array}$

が成り立つ。

関係式 8

（偶数乗の展開） m が偶数で k が正の整数のとき

$\begin{array}{cc}{D}^{\frac{m}{2}}{U}_k^m=& \sum _{r=0}^{\frac{m}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(-1{)}^r{Q}^{kr}{V}_{k(m-2r)}+(-1{)}^{\frac{m}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2})Q^{\frac{mk}{2}}\\ =& V_{km}-(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})Q^k{V}_{k(m-2)}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2})Q^{2k}{V}_{k(m-4)}-\cdots +(-1{)}^{\frac{m}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2-1})Q^{(\frac{m}{2}-1)k}{V}_{2k}+(-1{)}^{\frac{m}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2})Q^{\frac{mk}{2}},\end{array}$

および

$\begin{array}{cc}{V}_k^m=& \sum _{r=0}^{\frac{m}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})Q^{kr}{V}_{k(m-2r)}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2})Q^{\frac{mk}{2}}\\ =& V_{km}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})Q^k{V}_{k(m-2)}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2})Q^{2k}{V}_{k(m-4)}+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2-1})Q^{(\frac{m}{2}-1)k}{V}_{2k}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2})Q^{\frac{mk}{2}}.\end{array}$

成り立つ。

証明
等式 $(\mathrm{\#})$ より

$\begin{array}{cc}{D}^{\frac{m}{2}}{U}_k^m=& ({\alpha }^k-{\beta }^k{)}^m\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(-{\alpha }^k{\beta }^k{)}^r({\alpha }^{k(m-2r)}+{\beta }^{k(m-2r)})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2})(-{\alpha }^k{\beta }^k{)}^{\frac{m}{2}}\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(-1{)}^r{Q}^{kr}{V}_{k(m-2r)}+(-1{)}^{\frac{m}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2})Q^{\frac{mk}{2}}\end{array}$

および

$\begin{array}{cc}{V}_k^m=& ({\alpha }^k+{\beta }^k{)}^m\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})({\alpha }^k{\beta }^k{)}^r({\alpha }^{k(m-2r)}+{\beta }^{k(m-2r)})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2})({\alpha }^k{\beta }^k{)}^{\frac{m}{2}}\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})Q^{kr}{V}_{k(m-2r)}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2})Q^{\frac{mk}{2}}\end{array}$

が確かめられる。

関係式 9

（添字多倍公式） k が偶数のとき

$U_{km}=U_m\sum _{r=0}^{\frac{k}{2}-1}{Q}^{mr}{V}_{m(k-1-2r)}=U_m(V_{m(k-1)}+Q^m{V}_{m(k-3)}+\cdots ),$

k が奇数のとき

$U_{km}=U_m(Q^{\frac{m(k-1)}{2}}+\sum _{r=0}^{\frac{k-3}{2}}{Q}^{mr}{V}_{m(k-1-2r)})$

および

$V_{km}=V_m((-1{)}^{\frac{k-1}{2}}{Q}^{\frac{m(k-1)}{2}}+\sum _{r=0}^{\frac{k-3}{2}}(-1{)}^r{Q}^{mr}{V}_{m(k-1-2r)})$

が成り立つ。

証明
k が偶数のとき

$\begin{array}{cc}{U}_{km}=& \frac{{\alpha }^{km}-{\beta }^{km}}{\alpha -\beta }\\ =& \frac{{\alpha }^{km}-{\beta }^{km}}{{\alpha }^m-{\beta }^m}\cdot U_m\\ =& U_m\sum _{r=0}^{k-1}{\alpha }^{m(k-1-r)}{\beta }^{mr}\\ =& U_m\sum _{r=0}^{\frac{k}{2}-1}{Q}^{mr}{V}_{m(k-1-2r)},\end{array}$

また k が奇数のとき

$\begin{array}{cc}{U}_{km}=& \frac{{\alpha }^{km}-{\beta }^{km}}{\alpha -\beta }\\ =& \frac{{\alpha }^{km}-{\beta }^{km}}{{\alpha }^m-{\beta }^m}\cdot U_m\\ =& U_m\sum _{r=0}^{k-1}{\alpha }^{m(k-1-r)}{\beta }^{mr}\\ =& U_m(Q^{\frac{m(k-1)}{2}}+\sum _{r=0}^{\frac{k-3}{2}}{Q}^{mr}{V}_{m(k-1-2r)})\end{array}$

および

$\begin{array}{cc}\frac{V_{km}}{V_m}=& \frac{{\alpha }^{km}+{\beta }^{km}}{{\alpha }^m+{\beta }^m}\\ =& \sum _{r=0}^{k-1}(-1{)}^r{\alpha }^{m(k-1-r)}{\beta }^{mr}\\ =& (-1{)}^{\frac{k-1}{2}}{Q}^{\frac{m(k-1)}{2}}+\sum _{r=0}^{\frac{k-3}{2}}(-1{)}^r{Q}^{mr}{V}_{m(k-1-2r)}\end{array}$

である。

関係式 10

（P , D を使った展開）

$2^{n-1}{U}_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})P^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})P^{n-3}D+\cdots$

$2^{n-1}{V}_n=P^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})P^{n-2}D+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4})P^{n-4}{D}^2+\cdots$

証明

$\frac{V_1+U_1\sqrt{D}}{2}=\alpha =\frac{P+\sqrt{D}}{2}$

を n 乗して

$\frac{V_n+U_n\sqrt{D}}{2}={\alpha }^n{\left(\frac{P+\sqrt{D}}{2}\right)}^n$

つまり

$\begin{array}{cc}{2}^{n-1}(V_n+U_n\sqrt{D})=& (P+\sqrt{D}{)}^n\\ =& P^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})P^{n-1}\sqrt{D}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})P^{n-2}D+\cdots \\ =& (P^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})P^{n-2}D+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4})P^{n-4}{D}^2+\cdots )+((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})P^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})P^{n-3}D+\cdots )\sqrt{D}\end{array}$

と展開できる。同様に

$\begin{array}{cc}{2}^{n-1}(V_n-U_n\sqrt{D})=& (P-\sqrt{D}{)}^n\\ =& P^n-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})P^{n-1}\sqrt{D}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})P^{n-2}D-\cdots \\ =& (P^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})P^{n-2}D+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4})P^{n-4}{D}^2+\cdots )-((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})P^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})P^{n-3}D+\cdots )\sqrt{D}\end{array}$

と展開できる。これらの和および差を1/2倍して求める式が得られる。

関係式 11

（$P^m$ の展開） m が偶数のとき

$P^m=\sum _{r=0}^{\frac{m}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})Q^r{V}_{m-2r}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2})Q^{\frac{m}{2}},$

m が奇数のとき

$P^m=\sum _{r=0}^{\frac{m-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})Q^r{V}_{m-2r}=V_m+mQ{V}_{m-2}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2})Q^2{V}_{m-4}+\cdots .$

証明

等式 $(\mathrm{\#})(\mathrm{♭})$ より m が偶数のとき

$\begin{array}{cc}{P}^m=& (\alpha +\beta {)}^m\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(\alpha \beta {)}^r({\alpha }^{m-2r}+{\beta }^{m-2r})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2})(\alpha \beta {)}^{\frac{m}{2}}\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})Q^r{V}_{m-2r}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2})Q^{\frac{m}{2}},\end{array}$

m が奇数のとき

$\begin{array}{cc}{P}^m=& (\alpha +\beta {)}^m\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(\alpha \beta {)}^r({\alpha }^{m-2r}+{\beta }^{m-2r})\\ =& \sum _{r=0}^{\frac{m-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})Q^r{V}_{m-2r}\end{array}$

となる。