解析学基礎/微分可能関数

ロルの定理

• 関数$f(x)$が閉区間$[a,b]$上で連続、開区間$(a,b)$上で微分可能で、$f(a)=f(b)$ならば、$f^{\prime }(c)=0$ かつ$c\in (a,b)$を満たす$c$が存在する。
  

証明
$f(x)$が$[a,b]$上で定数なら、どの$c\in (a,b)$についても、$f^{\prime }(c)=0$である。
$f(x)$が$[a,b]$上で、$f(a)$より大きい値をとるとき、最大値・最小値の定理より、ある$c\in (a,b)$が存在して、任意の$x\in [a,b]$に対して、$f(c)\ge f(x)$となる。このとき、$f(x)$の微分可能性から、

$\underset{h\to +0}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le 0$

$\underset{h\to -0}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge 0$

であるから、$f^{\prime }(c)=0$となる。

$f(x)$が$[a,b]$上で定数でなくかつ$f(a)$より大きい値を取らないなら、$f(a)$より小さい値をとるので、同様に示せる。(証明終)

ラグランジュの平均値の定理

• 関数$f(x)$が閉区間$[a,b]$上で連続、開区間$(a,b)$上で微分可能ならば、$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$　　$(c\in (a,b))$を満たす$c$が存在する。

証明
$F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$とおく。このとき、$F(a)=F(b)=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}$であるから、ロルの定理より、$F^{\prime }(c)=0(c\in (a,b))$を満たす$c$が存在し、$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$であるから、定理は成立する。(証明終)

例 $f(x)=x^2(x\in [3,5])$について、定理が成立していることを確かめよ。

$\frac{f(5)-f(3)}{5-3}=8,f^{\prime }(x)=2x$なので、$f^{\prime }(x)=\frac{f(5)-f(3)}{5-3}$なら、$x=4$である。これは確かに区間$(3,5)$上に存在している。

コーシーの平均値の定理

• 関数$f(x),g(x)$が$[a,b]$上連続かつ$(a,b)$上微分可能で、$g(a)\ne g(b)$であり、また任意の$c\in (a,b)$に対して$g^{\prime }(c)\ne 0$であるとする。このとき、$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$　　$(c\in (a,b))$　を満たす実数$c$が存在する。

証明
$g(b)-g(a)\ne 0$であるから、$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=k$　とおくことができる。$f(b)-f(a)-k(g(b)-g(a))=0$ であるから、関数$\varphi (x)$を$\varphi (x)=f(x)-f(a)-k(g(x)-g(a))$ と定めると、$\varphi (a)=\varphi (b)=0$ となる。したがってロルの定理より、${\varphi }^{\prime }(c)=0(c\in (a,b))$ を満たす実数cが存在する。

ここで${\varphi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-k{g}^{\prime }(x)$であることに注意すると、${\varphi }^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-k{g}^{\prime }(c)=0$である。$g^{\prime }(c)\ne 0$であるから、$k=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$が成り立つ。(証明終)

平均値の定理の書き換え

平均値の定理中の　$c\in (a,b)$　は不等式　$a<c<b$　と同義である。ここで　$a=x_0,b=x_0+\mathrm{\Delta }x,c=x_0+\theta \mathrm{\Delta }x$　とおけば、$\mathrm{\Delta }x>0$であり、$x_0<x_0+\theta \mathrm{\Delta }x<x_0+\mathrm{\Delta }x$より$0<\theta <1$が得られる。ここで、$\theta =\frac{c-x_0}{\mathrm{\Delta }x}$　である。

これらをラグランジュの平均値の定理に現れる式に代入すれば

$\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x_0+\theta \mathrm{\Delta }x)$

が得られる。この式や、分母を払った式

$f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0+\theta \mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x$

を用いると便利なことがある。

無論このような書き換えはコーシーの平均値の定理でも適用可能であり

$\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{g(x_0+\mathrm{\Delta }x)-g(x_0)}=\frac{f^{\prime }(x_0+\theta \mathrm{\Delta }x)}{g^{\prime }(x_0+\theta \mathrm{\Delta }x)}$

なる等式が導かれる。ただし　$0<\theta <1$　すなわち　$\theta \in (0,1)$　である。

テイラーの定理

• f(x)が[a,b]上でn回微分可能ならば、任意の正の実数pに対して、
  $f(b)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a{)}^k+\frac{f^{(n)}(c)}{(n-1)!p}(b-c{)}^{n-p}(b-a{)}^p$　　$(c\in (a,b))$
  を満たすcが存在する。

証明
$f(b)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a{)}^k+R(b-a{)}^p$ を満たすRを考える。$F(x)=f(x)+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(b-x{)}^k+R(b-x{)}^p$ とおく。このとき、F(a)=F(b)=f(b)であるから、ロルの定理より、F'(c)=0 (c∈(a,b))を満たすcが存在する。実際にF'(x)を計算すると、
$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+\sum _{k=1}^{n-1}(\frac{f^{(k+1)}(x)}{k!}(b-x{)}^k-\frac{f^{(k)}(x)}{(k-1)!}(b-x{)}^{k-1})-pR(b-x{)}^{p-1}$

$=f^{\prime }(x)+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{f^{(k+1)}(x)}{k!}(b-x{)}^k-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x)}{(k-1)!}(b-x{)}^{k-1}-pR(b-x{)}^{p-1}$

$=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k+1)}(x)}{k!}(b-x{)}^k-\sum _{k=0}^{n-2}\frac{f^{(k+1)}(x)}{k!}(b-x{)}^k-pR(b-x{)}^{p-1}:$

$=\frac{f^{(n)}(x)}{(n-1)!}(b-x{)}^{n-1}-pR(b-x{)}^{p-1}$

なので、F'(c)=0のとき、 $R=\frac{f^{(n)}(c)}{(n-1)!p}(b-c{)}^{n-p}$ である。(証明終)

テイラーの定理中の $\frac{f^{(n)}(c)}{(n-1)!p}(b-c{)}^{n-p}(b-a{)}^p$ のことをシュレミルヒの剰余項といい、特にp=1のときのものをコーシーの剰余項、p=nのときのものをラグランジュの剰余項という。また、テイラーの定理は、近似計算やテイラー級数などに応用される。