解析学基礎/数列の極限

定義

数列 ${a_{n}}$ が、実数αに収束する、正の無限大に発散する、負の無限大に発散する、ということをそれぞれ $\lim_{n \to \infty} a_{n} = α, \lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty, \lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$ と書き、それぞれの定義を次のようにする。

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = α \Leftrightarrow \forall ϵ > 0 \exists N \in ℕ n > N \Rightarrow | a_{n} - α | < ϵ$
$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty \Leftrightarrow \forall K \exists N \in ℕ n > N \Rightarrow a_{n} > K$
$\lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty \Leftrightarrow \forall K \exists N \in ℕ n > N \Rightarrow a_{n} < K$

例数列 $a_{n} = n^{p} (p \in ℤ)$ について、
$\lim_{n \to \infty} a_{n} = {\begin{matrix} \infty, & p \geq 1 \\ 1, & p = 0 \\ 0, & p \leq - 1 \end{matrix}$

[1] $p \geq 1$ のとき

任意の

K > 0

に対して、アルキメデスの原理より、

\sqrt[p]{K} < N

を満たすNが存在する。

n > N

ならば、

p \geq 1

より

n^{p} > K

。よって、

a_{n}

は正の無限大に発散する。

[2] $p = 0$ のとき

任意のε>0に対して、

| a_{n} - 1 | = 0 < ϵ

。よって

a_{n}

は1に収束する。

[3] $p < 0$ のとき

任意のε>0に対し、アルキメデスの原理から、

\sqrt[p]{ϵ} < N

を満たす自然数Nが存在する。

n > N

ならば、

p < 0

に注意すると、

0 < | n^{p} | < ϵ

。よって、

a_{n}

は0に収束する。

性質

数列の和差積商の極限

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = α, \lim_{n \to \infty} b_{n} = β$ のとき、次の等式が成立する。

$\lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = α + β$
$\lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = α β$
$\lim_{n \to \infty} c a_{n} = c α (c \in ℝ)$
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{α}{β} (β \neq 0)$

証明は関数の極限の証明と同じであるので省略する。

その他の基本的性質

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = α, \lim_{n \to \infty} a_{n} = β$ ならば、α = β

証明
任意のε>0に対して、あるNが存在して $n > N$ ならば $| a_{n} - α | < \frac{ϵ}{2}, | a_{n} - β | < \frac{ϵ}{2}$ なので、
$| α - β | \leq | α - a_{n} | + | a_{n} - β | \leq ϵ$
εは任意より、α=β

$a_{n} \leq b_{n}, \lim_{n \to \infty} a_{n} = α, \lim_{n \to \infty} b_{n} = β$ ならば $α \leq β$

証明
任意の ε>0に対して、あるNが存在して $n > N$ ならば $α - ϵ < a_{n} < α + ϵ, β - ϵ < b_{n} < β + ϵ$ なので、
$α - ϵ < a_{n} \leq b_{n} < β + ϵ ∴ α - β < 2 ϵ$
εは任意の正の数なので、α≤β

$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}, \lim_{n \to \infty} a_{n} = α, \lim_{n \to \infty} c_{n} = α$ ならば、 $\lim_{n \to \infty} b_{n} = α$

証明は関数の極限と同じなので省略する。

実数の連続性に関わる性質

有界な単調数列は収束する。

証明
${a_{n}}$ が有界な単調増加列とし、 $\sup a_{n} = α$ とおく。上限の定義より、任意のεに対し、 $α - ϵ < a_{N}$ を満たす自然数Nが存在し、 $n > N$ のとき、単調増加性より、 $α - ϵ < a_{N} < a_{n} \leq α$ 。つまり、数列 $a_{n}$ は収束する。

$a_{n}, b_{n}$ をそれぞれ、単調増加数列、単調減少数列としてすべての自然数iについて $a_{i} < b_{i}$ かつ、 $\lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ ならば、実数cが存在して、 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} b_{n} = c$ （区間縮小法の原理）

証明
$a_{1} \leq a_{n} < b_{n} \leq b_{1}$ より、二つの数列は有界かつ単調で、収束する。それぞれの極限値をα , βとおくと、条件よりβ-α=0 ∴ α = β

有界な数列は収束部分列を持つ。（ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理)

証明
数列 ${a_{n}}$ を有界とする。 $m_{1} < a_{n} < M_{1}, I_{1} = [m_{1}, M_{1}]$ とおく。 $[m_{1}, \frac{m_{1} + M_{1}}{2}], [\frac{m_{1} + M_{1}}{2}, M_{1}]$ のうち、有限個の{a_n}の項しか含んでいない方でない方を $I_{2} = [m_{2}, M_{2}]$ とおく。このようにして数列 $m_{n}, M_{n}$ を作ると、この二つの数列は、前性質の条件を満たしているので、ともに収束する。また、すべての自然数kに対して、 $m_{k} < a_{n_{k}} < M_{k}$ を満たす自然数 $n_{k}$ が存在し、はさみうちの原理から部分列 ${a_{n_{k}}}$ は収束する。

$\forall ϵ > 0 \exists N \in ℕ n > N \land m > N \Rightarrow | a_{n} - a_{m} | < ϵ$ （これを満たす数列をコーシー列という）なら、数列 ${a_{n}}$ は収束する。

証明
ε₁を固定して、ε =ε₁のときのNをN₁とおくと、n>N₁のとき、 $a_{N_{1}} - ϵ_{1} < a_{n} < a_{N_{1}} + ϵ_{1}$ より、数列は有界で、前性質より収束する部分列 ${a_{n_{k}}}$ を持つ。この収束値をαとおくと、ある自然数Nが存在して、 $n_{k}, n > N \Rightarrow | a_{n_{k}} - α | < \frac{ϵ}{2} \land | a_{n} - a_{n_{k}} | < \frac{ϵ}{2}$ が成り立つので、三角不等式より、 $| a_{n} - α | < | a_{n} - a_{n_{k}} | + | a_{n_{k}} - α | < ϵ$

解析学基礎/数列の極限

目次

定義

性質

数列の和差積商の極限

その他の基本的性質

実数の連続性に関わる性質

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