高等学校数学II/三角関数

テンプレート:Pathnav ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。

角の拡張

一般角

右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを動径という。

半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを始線という。

動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。

負の角度や360°以上回転する角度も考えに入れた角のことを一般角という。

弧度法

ラジアン

いままでは角度の単位として一周を 360° とする度数法を使ってきたことだろう。ここで、弧度法による角度の表し方を学ぶ。

半径1 の扇形において弧の長さが 1 のときの中心角を 1 rad、同様に弧の長さがθのときの中心角をθ radと定義する。この定義より 180° =π rad、360° = 2π rad 、さらに

$\begin{array}{cc}{1}^{\circ }& =\frac{\pi }{180}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\\ \\ 1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}& ={\frac{180}{\pi }}^{\circ }\approx 57.3^{\circ }\end{array}$

となる。また弧度法の単位（rad）はしばしば省略される。

弧度法を用いると、三角関数の微積分を考える際に便利である。（このことは数学IIIで学ぶ）

扇形の弧の長さと面積

扇形の半径をr 、弧度法で定義された角度をθとするとき、弧の長さl と面積S は

$\begin{array}{cc}l& =r\theta ,\\ \\ S& =\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}rl\end{array}$

と表せる。

三角関数

sin と cos のグラフ

一般角が $\theta$ の半直線と単位円が交わる円を $\mathrm{P}$ とする。このときの $\mathrm{P}$ の座標を$(\cos \theta ,\sin \theta )$ とすることで、関数 $\sin ,\cos$ を定める。また、$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ とすることで関数 $\tan \theta$ を定める。$\tan \theta$ は一般角が $\theta$ の動径の傾きに等しい。

• $\sin$ はサイン(sine) と発音され、正弦とも呼ばれる。
• $\cos$ コサイン(cosine) と発音され、余弦とも呼ばれる。
• $\tan$ はタンジェント(tangent) と発音され、正接とも呼ばれる。

また、三角関数の累乗は

$(\sin \theta {)}^n={\sin }^n\theta$

と表記される。

テンプレート:- cos θ のグラフは sin θ のグラフを θ軸方向に $-\frac{\pi }{2}$だけ平行移動したものである。

$y=\sin \theta$ や $y=\cos \theta$ の形をした曲線のことを 正弦曲線 （せいげんきょくせん）という。

関数 $\sin ,\cos$ の値域はどちらも、$[-1,1]$ である。 テンプレート:-

tan のグラフ

右図のように 、角 θ の動径と単位円との交点をPとして、 直線OPと 直線x＝1 との交点を T とすると、 Tの座標は

T (1, tan θ)

になる。

このことを利用して、 y＝tan θ のグラフをかくことができる。

テンプレート:- y=tan θ のグラフは、下図のようになる。

y=tan θ のグラフでは、θの値が $\frac{\pi }{2}$ に近づいていくと、 直線 $\theta =\frac{\pi }{2}$ に限りなく近づいていく。

このように、曲線がある直線に限り無く近づいていくとき、近づかれる直線のほうを 漸近線 （ぜんきんせん）という。

同様に考え、次の直線も y＝tanθ の漸近線である。

$\cdots ,\theta =-\frac{3}{2}\pi ,\theta =-\frac{1}{2}\pi ,\theta =\frac{1}{2}\pi ,\frac{3}{2}\pi ,\cdots$

は y＝tanθ の漸近線である。

一般に、

直線 $\theta =\frac{\pi }{2}+n\pi$ 　　（nは整数）

はy=tanθのグラフの漸近線である。

三角関数の性質

一般角が $\theta$ の動径は一回転しても等しいので、一般角が $\theta +2\pi$ の動径と等しい。これより三角関数の周期性

$\begin{array}{cc}\sin (\theta +2\pi n)& =\sin \theta \\ \cos (\theta +2\pi n)& =\cos \theta \\ \tan (\theta +2\pi n)& =\tan \theta \end{array}$

を得る。

点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ を $\pi$ 回転した点 $(\cos (\theta +\pi ),\sin (\theta +\pi ))$ は原点を中心に点対称移動した点　$(-\cos \theta ,-\sin \theta )$ であることから

$\begin{array}{cc}\sin (\theta +\pi )& =-\sin \theta \\ \cos (\theta +\pi )& =-\cos \theta \\ \tan (\theta +\pi )& =\tan \theta \end{array}$

を得る。

点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ を $x$ 軸で線対称移動移動した点が $(\cos (-\theta ),\sin (-\theta ))=(\cos \theta ,-\sin \theta )$ であることから

$\begin{array}{cc}\sin (-\theta )& =-\sin \theta \\ \cos (-\theta )& =\cos \theta \\ \tan (-\theta )& =-\tan \theta \end{array}$

を得る。

• 問題例
  • 問題
• ::$\begin{array}{cc}& \sin (\theta +\frac{\pi }{2})\\ & \cos (\theta +\frac{\pi }{2})\\ & \sin (\frac{\pi }{2}-\theta )\\ & \cos (\frac{\pi }{2}-\theta )\end{array}$

  を計算せよ。

  • 解答

  角θに対応する点を P(x, y) とする。このとき、角 θ + 90°に対応する点を P'(x', y') とすると、この点の座標は、P'(-y, x) に対応する。このことから、P'について sin, cos を計算すると、

  $\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =-y\\ & =\cos (\theta +\frac{\pi }{2})\\ & =-\sin \theta \\ y^{\prime }& =x\\ & =\sin (\theta +\frac{\pi }{2})\\ & =\cos \theta \end{array}$

  が得られる。

  同様にして、90°- θ に対応する点を P' '(x' ', y' ') とすると、

  $\begin{array}{cc}{x}^{″}& =y\\ y^{″}& =x\end{array}$

  となる。よって、

  $\begin{array}{cc}\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )& =\cos \theta \\ \cos (\frac{\pi }{2}-\theta )& =\sin \theta \end{array}$

  が得られる。

単位円周上の点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ から原点までの距離は 1 なので、 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ が成り立つ。

また、この式に、 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ つまり、 $\sin \theta =\tan \theta \cos \theta$ を代入すれば、$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ が成り立つことがわかる。

周期関数

関数 $f(x)$ に対して、0 でない実数 $p$ が存在して、$f(x+p)=f(x)$ となるとき関数 $f(x)$ は周期関数という。実数 $p$ が上の性質を満たすとき、$-p,2p$ など、実数 $p$ を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数 $p$ の内、正でかつ最小のものを選び、これを周期と呼ぶ。

$\sin x,\cos x$ は周期を $2\pi$ とする周期関数であり、$\tan x$ は周期を $\pi$ とする周期関数である。

演習問題

$k$ を0でない実数とする。関数 $\sin kx$ の周期を言え

解答

$\sin k(x+\frac{2\pi }{k})=\sin kx$ なので答えは $\frac{2\pi }{k}$ 。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。

偶関数と奇関数

関数 $f(x)$ が $f(-x)=f(x)$ を満たすとき、関数 $f(x)$ は偶関数という。偶関数は $y$ 軸に関して対称なグラフになる。

また、関数 $f(x)$ が $f(-x)=-f(x)$ を満たすとき、関数 $f(x)$ は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。

関数 $\cos \theta ,x^{2n}$ ($n$ は整数)は偶関数となる。

関数 $\sin x,x^{2n+1}$ ($n$ は整数)は奇関数となる。

演習問題

$\tan \theta$ は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。

解答

$\tan (-\theta )=\frac{\sin (-\theta )}{\cos (-\theta )}=\frac{-\sin (\theta )}{\cos (\theta )}=-\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}=-\tan \theta$

なので、 $\tan \theta$ は奇関数である。

いろいろな三角関数

関数 $y=\sin (\theta -\frac{\pi }{3})$ のグラフは、$y=\sin \theta$のグラフを θ軸方向に $\frac{\pi }{3}$ だけ平行移動させたものになり、周期は $2\pi$ である。（平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は $2\pi$ のままである。）

関数 y＝2sin θ のグラフの形は y＝sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y＝sin θ と同じく 2π である。

ー1 ≦ sin θ ≦ 1　　なので、

値域は　　ー2 ≦ 2sin θ ≦ 2　　である。 テンプレート:- テンプレート:-

テンプレート:- 関数 y＝sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍に縮小したものになっている。

したがって、周期も $\frac{1}{2}$ 倍になっており、y=sinθ の周期は $2\pi$ だから、y=sin2θ の周期は $\pi$ である。

加法定理

三角関数の加法定理

$\begin{array}{cc}\sin (\alpha \pm \beta )& =\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha \pm \beta )& =\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \end{array}$

が成り立つ。

証明

任意の実数 $\alpha ,\beta$ に対し、単位円周上の点 $\mathrm{A}(\cos \alpha ,\sin \alpha ),\mathrm{B}(\cos \beta ,\sin \beta )$ をとる。このとき、 線分 $\mathrm{A}\mathrm{B}$ の長さの2乗 ${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2$ は余弦定理を使うことにより

${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2=2-2\cos (\alpha -\beta )$

である。次に三平方の定理を使って

${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2=(\cos \alpha -\cos \alpha {)}^2+(\sin \alpha -\sin \beta {)}^2=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )$

これを整理して

$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

を得る。

$\cos (\alpha +\beta )=\cos (\alpha -(-\beta ))=\cos \alpha \cos (-\beta )+\sin \alpha \sin (-\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

である。

以上をまとめて

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

を得る。

ここで、

$\sin (\alpha \pm \beta )=-\cos (\alpha +\frac{\pi }{2}\pm \beta )=-\{\cos (\alpha +\frac{\pi }{2})\cos (\beta )\mp \sin (\alpha +\frac{\pi }{2})\sin \beta \}=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

さらに、$\tan x$ についても

$\begin{array}{cc}\tan (\alpha \pm \beta )& =\frac{\sin (\alpha \pm \beta )}{\cos (\alpha \pm \beta )}\\ & =\frac{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }\\ & =\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }\pm \frac{\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac{\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }\mp \frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\\ & =\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }\end{array}$

が成り立つ。

2倍角・半角の公式

加法定理を用いて以下の2倍角の公式が証明できる。

$\sin 2\alpha =\sin (\alpha +\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha =\cos (\alpha +\alpha )={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

次に、 $\cos$ の2倍角の公式を変形すると

${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$

${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$

である。

ここで$\alpha$を$\frac{\alpha }{2}$に置き換えると、

${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$

${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}$

である。（半角の公式）

この式は$\frac{\alpha }{2},\alpha$どちらの形でも多用する。

演習問題

1. $\sin 15^{\circ },\cos 15^{\circ }$ を求めよ
2. ${\tan }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$ を示せ

解答

$\sin 15^{\circ }=\sin (45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos 15^{\circ }=\cos (45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$

今までの定理をまとめると、次のようになる。

三角関数の加法定理

$\begin{array}{cc}\sin (\alpha \pm \beta )& =\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha \pm \beta )& =\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ \tan (\alpha \pm \beta )& =\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }\\ \end{array}$

2倍角の公式

$\begin{array}{cc}\sin 2\alpha & =2\sin \alpha \cos \alpha \\ \cos 2\alpha & ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1\\ \tan 2\alpha & =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }\end{array}$

半角の公式

$\begin{array}{cc}{\sin }^2\frac{\alpha }{2}& =\frac{1-\cos \alpha }{2}\\ {\cos }^2\frac{\alpha }{2}& =\frac{1+\cos \alpha }{2}\\ {\tan }^2\frac{\alpha }{2}& =\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }\end{array}$

覚え方

加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。

$\cos$ の倍角の公式 $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta$ は $\pm 1\mp 2{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\theta$ という形を覚えて $\sin$ は符号が $-$、1 の符号はその逆と覚えます。

半角の公式${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2},{\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}$ は、$\frac{1\pm \cos \theta }{2}$ という形を覚えて、 $\sin$ は符号が$-$ と考えます。

三角関数の合成

三角関数の和

$a\sin \theta +b\cos \theta$

において、$a,b\ne 0$ のとき

${\left\{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right\}}^2+{\left\{\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right\}}^2=1$ なので、点 $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$ は単位円周上の点であり、

$\{\begin{array}{c}\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$

となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。

$\begin{array}{cc}a\sin \theta +b\cos \theta & =\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin \theta +\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos \theta )\\ & =\sqrt{a^2+b^2}(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha )\\ & =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\alpha )\\ \end{array}$

この式はサイン（正弦関数）に合成するので正弦合成と呼ぶ場合がある。 これに対し、コサイン（余弦関数）に合成する場合は余弦合成と呼ばれる。

合成は加法定理の逆の操作である。

演習問題

$r,\alpha$ は $r>0,-\pi \le \alpha <\pi$ を満たすとする。

1. $\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$ を $r\sin (\theta +\alpha )$ の形に変形せよ。
2. $2\cos \theta -2\sin \theta$ を $r\cos (\theta +\alpha )$ の形に変形せよ。

解答

1. $r=\sqrt{1^2+{(-\sqrt{3})}^2}=2$ より

$\begin{array}{cc}\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta & =2(\frac{1}{2}\sin \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta )\\ & =2(\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}-\cos \theta \sin \frac{\pi }{3})\\ & =2\sin (\theta -\frac{\pi }{3})\\ \end{array}$

1. $2\cos \theta -2\sin \theta =2\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta -\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta )$ ここで、$r\cos (\theta +\alpha )=r(\cos \theta \cos \alpha -\sin \theta \sin \alpha )$ である。 $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}},\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\alpha$ として $\alpha =\frac{\pi }{4}$ がある。したがって、$2\cos \theta -2\sin \theta =2\sqrt{2}\cos (\theta +\frac{\pi }{4})$

$a\sin \theta +b\cos \theta$の合成の計算を簡略化するやり方として、以下のようなものが知られている。

正弦合成の場合

xy平面上に点$P(a,b)$をとる。

x軸の正の部分に始線をとり、OPを動径とみた時の回転角を$\alpha$とおく。

三角方程式$\tan \alpha =\frac{b}{a}$を解いて$\alpha$の値を求める。

求める式は$\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\alpha )$である。

余弦合成の場合

xy平面上に点$Q(b,a)$をとる。

x軸の正の部分に始線をとり、OQを動径とみた時の回転角を$\beta$とおく。

三角方程式$\tan \beta =\frac{a}{b}$を解いて$\beta$の値を求める。

求める式は$\sqrt{a^2+b^2}\cos (\theta -\beta )$である。

和⇄積の公式

三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれ

積→和の公式

$\begin{array}{cc}\sin \alpha \cos \beta & =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\}\\ \cos \alpha \sin \beta & =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )\}\\ \cos \alpha \cos \beta & =\frac{1}{2}\{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\}\\ \sin \alpha \sin \beta & =-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )\}\end{array}$

和→積の公式

$\begin{array}{cc}\sin A+\sin B& =2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)\\ \sin A-\sin B& =2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)\\ \cos A+\cos B& =2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)\\ \cos A-\cos B& =-2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)\end{array}$

となる。

導出

加法定理

テンプレート:式番号

テンプレート:式番号

テンプレート:式番号

テンプレート:式番号

から、 (1) + (2) より

$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}(\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta ))$

(1) - (2) より

$\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}(\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta ))$

(3) + (4) より

$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}(\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta ))$

(3) - (4) より

$\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}(\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta ))$

が得られる。

$A=\alpha +\beta ,B=\alpha -\beta$ とおくと、 $\alpha =\frac{A+B}{2},\beta =\frac{A-B}{2}$ である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれ

$\begin{array}{cc}\sin A+\sin B& =2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)\\ \sin A-\sin B& =2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)\\ \cos A+\cos B& =2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)\\ \cos A-\cos B& =-2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)\end{array}$

が得られる。

覚え方

積→和の公式は、上2つは $\alpha$ と $\beta$ を入れ替えれば同じ式なので、覚えるのは3式でいい。$\sin \sin$ の公式は $\cos \cos$ の公式の符号を2つ $-$ にしたものになっている。

和→積の公式は、$\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{-}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{a}$ の式は $\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{+}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{a}$ の公式の $\cos$ と $\sin$ を逆にした形になっている。

• 問題
  • $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\sin \alpha \cos \alpha +\sin \beta \cos \beta }{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\beta }$を示せ。

• 解答

（右辺）$=\frac{\sin \alpha \cos \alpha +\sin \beta \cos \beta }{{\cos }^2\alpha -(1-{\cos }^2\beta )}$

$=\frac{\frac{1}{2}\sin 2\alpha +\frac{1}{2}\sin 2\beta }{\frac{1+\cos 2\alpha }{2}-1+\frac{1+\sin 2\beta }{2}}\because$ 2倍角・半角の公式

$=\frac{\sin 2\alpha +\sin 2\beta }{\cos 2\alpha +\cos 2\beta }$

$=\frac{2\sin (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta )}{2\cos (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta )}\because$ 和→積の公式

$=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}$

$=\tan (\alpha +\beta )$

• 別解

（右辺）$=\frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \frac{1}{{\cos }^2\beta }+\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\cdot \frac{\sin \beta }{\cos \beta }}{\frac{1}{{\cos }^2\beta }-\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\cdot \frac{{\sin }^2\beta }{{\cos }^2\beta }}$

$=\frac{\tan \alpha (1+{\tan }^2\beta )+(1+{\tan }^2\alpha )\tan \beta }{1+{\tan }^2\beta +(1+{\tan }^2\alpha ){\tan }^2\beta }$

$=\frac{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \alpha \tan \beta (\tan \alpha +\tan \beta )}{1-{\tan }^2\alpha {\tan }^2\beta }$

$=\frac{(\tan \alpha +\tan \beta )(1+\tan \alpha \tan \beta )}{(1+\tan \alpha \tan \beta )(1-\tan \alpha \tan \beta )}$

$=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

$=\tan (\alpha +\beta )$

三角関数の基本公式

• 周期性（n　は整数）

$\begin{array}{cc}\sin (\theta +2\pi n)& =\sin \theta \\ \cos (\theta +2\pi n)& =\cos \theta \\ \tan (\theta +2\pi n)& =\tan \theta \end{array}$

• 偶関数、奇関数（負角の公式）

$\begin{array}{cc}\sin (-\theta )& =-\sin \theta \\ \cos (-\theta )& =\cos \theta \\ \tan (-\theta )& =-\tan \theta \end{array}$

• $\theta +\pi$

$\begin{array}{cc}\sin (\theta +\pi )& =-\sin \theta \\ \cos (\theta +\pi )& =-\cos \theta \\ \tan (\theta +\pi )& =\tan \theta \end{array}$

• $\pi -\theta$（補角の公式）

$\begin{array}{cc}\sin (\pi -\theta )& =\sin \theta \\ \cos (\pi -\theta )& =-\cos \theta \\ \tan (\pi -\theta )& =-\tan \theta \end{array}$

• $\theta +\frac{1}{2}\pi$

$\begin{array}{cc}\sin (\theta +\frac{1}{2}\pi )& =\cos \theta \\ \cos (\theta +\frac{1}{2}\pi )& =-\sin \theta \\ \tan (\theta +\frac{1}{2}\pi )& =-\frac{1}{\tan \theta }\end{array}$

• $\frac{\pi }{2}-\theta$（余角の公式）

$\begin{array}{cc}\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )& =\cos \theta \\ \cos (\frac{\pi }{2}-\theta )& =\sin \theta \\ \tan (\frac{\pi }{2}-\theta )& =\frac{1}{\tan \theta }\end{array}$

• 問題例
  • 問題

  (i) $\sin \frac{10}{3}\pi$

  (ii) $\cos (-\frac{11}{4}\pi )$

  (iii) $\tan \frac{31}{6}\pi$

  の値を求めよ。

  • 解答

  (i)

  $\begin{array}{cc}\sin \frac{10}{3}\pi & =\sin (\frac{4}{3}\pi +2\pi )=\sin \frac{4}{3}\pi \\ & =\sin (\frac{\pi }{3}+\pi )=-\sin \frac{\pi }{3}\\ & =-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

  (ii)

  $\begin{array}{cc}\cos (-\frac{11}{4}\pi )& =\cos \frac{11}{4}\pi =\cos (\frac{3}{4}\pi +2\pi )\\ & =\cos \frac{3}{4}\pi =\cos (\pi -\frac{\pi }{4})\\ & =-\cos \frac{\pi }{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$

  (iii)

  $\begin{array}{cc}\tan \frac{31}{6}\pi & =\tan (\frac{7}{6}\pi +2\pi \times 2)=\tan \frac{7}{6}\pi \\ & =\tan (\frac{\pi }{6}+\pi )=\tan \frac{\pi }{6}\\ & =\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$

テンプレート:コラム

テンプレート:コラム

演習問題

(1)下の度数法で表された値を弧度法で表せ

1)$150$ 2)$720$

(2)$\sin \pi /2$の値を求めよ

(3)$y=7\sin (\theta -\frac{\pi }{4})$のグラフをかけ。

(4)以下を示せ。

1)$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$

2)$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$

(5)$\sqrt{6}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta$を$r\sin (\theta +a)$の形で表せ。

(6)$a\sin \theta +b\cos \theta =r\cos (\theta -\beta )$が成立するように$r,\sin \beta ,\cos \beta$を定めよ。

(7)以下の式について、和の形であれば積の形に、積の形であれば和の形に変形せよ。

1)$\sin 3\theta +\sin 5\theta$

2)$\sin 6\theta \cos 4\theta$

(8)$f(\theta )=3\sin \theta \cos \theta +\sin \theta +\cos \theta$とする。

1)$t=\sin \theta +\cos \theta$としたとき、$\sin \theta \cos \theta$を$t$の式で表せ。

2)$t$の範囲を求めよ。

3)$f(\theta )$の最大値・最小値を求めよ。