数学演習/数学III/微分法

本項は高等学校数学III 微分法の演習用問題を提供する。 解答はこちら

微分法

微分係数と導関数

〔1〕　次の関数$f(x)$の導関数を定義に従って求めよ。

(1) $f(x)=x^2+1$

(2) $f(x)=\frac{2}{x}$

(3) $f(x)=\sqrt{x}$

〔2〕　関数$f(x)=|x+1|$ は $x=-1$で微分可能でないことを示せ。

微分の計算の基本

主な対応項目「高等学校数学III 微分法#関数の和、差、積、商の導関数」

次の関数$f(x)$の導関数を求めよ。

(1) $f(x)=x^4+2x^3-5x^2+3x+2$

(2) $f(x)=(x^2+3)(4x+2)$

(3) $f(x)=\frac{3x^2+1}{x+2}$

(4) $f(x)=(2x+7{)}^5$

(5) $f(x)=\frac{1}{(2x+7{)}^5}$

色々な微分の計算

主な対応項目「高等学校数学III 微分法#三角関数,指数関数,対数関数の導関数」

次の関数$f(x)$の導関数を求めよ。ただし対数の底は自然対数とする。

(1) $f(x)=\sin (x^2-3)$

(2) $f(x)=\cos (\sqrt{4x-3})$

(3) $f(x)=\sin (x+\frac{\pi }{3})$

(4) $f(x)=\log x^2$

(5) $f(x)=\log (\sin x)$

(6) $f(x)=\frac{(x-3{)}^5}{\sqrt[3]{2x+5}}$

(7) $f(x)=e^{2x+1}$

(8) $f(x)=2^{x^2}$

(9) $f(x)=\frac{x^2}{\log x}$

(10) $f(x)=\log \sqrt{\frac{2x^2-1}{2x+1}}$

第n次導関数

主な対応項目「高等学校数学III 微分法#高次導関数」

〔1〕　次の関数$f(x)$を第3次までの導関数を求めよ。

(1) $f(x)=5x^4-4x^3+2x^2$

(2) $f(x)=x\sin x$

(3)$f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}$

陰関数の導関数

次の方程式で定められる$x$の関数$y$について、$\frac{dy}{dx}$を求めよ。

(1) $y^2=4x$

(2) $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$

(3) $x^2+4xy+y^2=0$