熱力学/可逆過程

カルノーサイクル

等温変化や断熱変化の考察で求まった公式を用いて、熱機関の理論的な効率を調べよう。まず、熱源として、高温熱源T1と低温熱源T2を用意する。熱サイクルとして、

高温熱源による等温膨張　→　断熱膨張　→　低温熱源による等温収縮　→　断熱圧縮

というサイクルを考える。このようなサイクルをカルノーサイクル（Carnot cycle）という。

なぜ、このようなサイクルなのかというと、まず高温熱源から熱を貰う間は、気体温度は高温熱源の温度と均衡してるとして、等温膨張としよう。高温熱源から熱をもらい終わったあと、低温圧縮される前に、等温変化以外で仕事をして、内部気体の温度を低温熱源の温度まで下げるとしよう。（収縮時も気体の温度が熱源と同じほうが理論的に扱いやすい。）等温変化の膨張のあとの変化は、あまり余計なエネルギー源を増やしたくないので、理論的に扱いやすいのは、断熱変化とするのが、扱いやすい。（定積変化や定圧変化にすると、機関が外部からエネルギーを貰うことになるので、変数が増えて、面倒になる。）

ともかく、カルノーサイクルで行われる仕事を求めよう。

まず図の点1から点2の間の仕事W12は等温膨張での仕事なので、高温熱源の温度をT2とすれば、公式より、

W_{12} = n R T_{2} \log \frac{V_{2}}{V_{1}}

である。

図の点2から点3の間の仕事W12は断熱膨張での仕事であり、ポアソンの公式 $p V^{γ} = K_{1}$ より（K1は定数とする）、

W_{23} = \int_{V_{2}}^{V_{3}} p d V = K_{1} \int_{V_{2}}^{V_{3}} V^{- γ} d V = \frac{K_{1}}{1 - γ} [V^{1 - γ}]_{V_{2}}^{V_{3}}

= \frac{K_{1}}{γ - 1} [V^{1 - γ}]_{V_{3}}^{V_{2}} = \frac{K_{1}}{γ - 1} [\frac{1}{V^{γ - 1}}]_{V_{3}}^{V_{2}} = \frac{K_{1}}{γ - 1} (\frac{1}{V_{3}^{γ - 1}} - \frac{1}{V_{2}^{γ - 1}}) = \frac{1}{γ - 1} (p_{3} V_{3} - p_{2} V_{2}) = \frac{1}{γ - 1} (n R T_{1} - n R T_{2})

である。

図の点3から点4の間の仕事W34は等温圧縮での負の仕事なので、低温熱源の温度をT1とすれば、公式より、

W_{34} = n R T_{1} \log \frac{V_{4}}{V_{3}} = - n R T_{1} \log \frac{V_{3}}{V_{4}}

であり、この負の仕事の大きさと等量の熱を放出することになる。

図の点4から点1の間の仕事W41は断熱圧縮での仕事であり、ポアソンの公式 $p V^{γ} = K_{2}$ より（K2は定数とする）、

W_{41} = \int_{V_{4}}^{V_{1}} p d V = K_{2} \int_{V_{4}}^{V_{1}} V^{- γ} d V = \frac{K_{2}}{1 - γ} [V^{1 - γ}]_{V_{4}}^{V_{1}}

= \frac{K_{2}}{γ - 1} [V^{1 - γ}]_{V_{1}}^{V_{4}} = \frac{K_{2}}{γ - 1} [\frac{1}{V^{γ - 1}}]_{V_{1}}^{V_{4}} = \frac{K_{2}}{γ - 1} (\frac{1}{V_{1}^{γ - 1}} - \frac{1}{V_{4}^{γ - 1}}) = \frac{1}{γ - 1} (p_{1} V_{1} - p_{4} V_{4}) = \frac{1}{γ - 1} (n R T_{2} - n R T_{1}) = - W_{23}

である。

機関が1サイクルの間にした仕事は、これ等を足し合わせれば良いから、

W_{12} + W_{23} + W_{34} + W_{41}

である。

このうち、

W 23 = - W 41

なので、仕事として残る変数は、

W_{12} + W_{34}

であり、

W_{12} = n R T_{2} \log \frac{V_{2}}{V_{1}}

W_{34} = n R T_{1} \log \frac{V_{4}}{V_{3}} = - n R T_{1} \log \frac{V_{3}}{V_{4}}

だから、

W_{12} + W_{34} = n R T_{2} \log \frac{V_{2}}{V_{1}} - n R T_{1} \log \frac{V_{3}}{V_{4}}

である。これが、この機関が1サイクルで行う正味の仕事である。

ところで、 $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ と、 $\frac{V_{3}}{V_{4}}$ の関係を求めよう。状態方程式pV=nRTより、

p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}

　　（1）

p_{3} V_{3} = p_{4} V_{4}

　　（2）

である。さらにポアソンの公式より、

p_{4} V_{4}^{γ} = p_{1} V_{1}^{γ}

　　（3）

p_{2} V_{2}^{γ} = p_{3} V_{3}^{γ}

　　（4）

である。これらを連立して解けば良い。計算の一例を示す。まず、式(1)と式(2)の左辺どうしと右辺どうしを掛ける。すると、

p_{1} p_{3} V_{1} v_{3} = p_{2} p_{4} V_{2} V_{4}

　　（5）

である。

今度は式(3)と式(4)の左辺どうしと右辺どうしを掛ける。すると、

p_{2} p_{4} V_{2}^{γ} v_{4}^{γ} = p_{1} p_{3} V_{1}^{γ} V_{3}^{γ}

　　（6）

である。

式(6)に式(5)を代入すると、式(6)の左辺は、

p_{2} p_{4} V_{2}^{γ} v_{4}^{γ} = (p_{2} p_{4} V_{2} V_{4}) (V_{2} v_{4})^{γ - 1} = (p_{1} p_{3} V_{1} v_{3}) (V_{2} v_{4})^{γ - 1}

　　（7）

式(6)の右辺は、

p_{1} p_{3} V_{1}^{γ} V_{3}^{γ} = (p_{1} p_{3} V_{1} v_{3}) (V_{1} V_{3})^{γ - 1}

　　（8）

となる。

式(7)=式(8)なので、

(p_{1} p_{3} V_{1} v_{3}) (V_{2} v_{4})^{γ - 1} = (p_{1} p_{3} V_{1} v_{3}) (V_{1} V_{3})^{γ - 1}

　　　（9）

である。これを整理して、

(V_{2} v_{4})^{γ - 1} = (V_{1} V_{3})^{γ - 1}

　　　　　　（10）

となる。これより、

(V_{2} v_{4}) = (V_{1} V_{3})

　　　　（11）

である。さらに、求めたいのは、 $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ と、 $\frac{V_{3}}{V_{4}}$ の関係であったから、式(10)を移行すれば、

\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{V_{3}}{V_{4}}

　　　　　（12）

が求まる。なぜ、式(12)を求めたかというと、そもそもの目的は、正味の仕事

W_{12} + W_{34} = n R T_{2} \log \frac{V_{2}}{V_{1}} - n R T_{1} \log \frac{V_{3}}{V_{4}}

　　　　（13）

を求めるためであったので、では、正味の仕事を求めよう。

式(12)より、式(13)を変形できて、

W_{12} + W_{34} = n R (T_{2} - T_{1}) \log \frac{V_{2}}{V_{1}}

　　　　（14）

と掛ける。これが、カルノーサイクルの、1サイクルでの正味の仕事である。

カルノーサイクルの効率

カルノーサイクルが高温熱源から受け取る熱量Q1は、行程1→2であり、この行程は等温変化なので、受け取った熱量はすべて仕事になっている。行程1→2での等温変化の仕事は、

W_{12} = n R T_{2} \log \frac{V_{2}}{V_{1}}

であったので。これが高温熱源から受け取った熱量Q1に等しい。つまり

Q_{1} = n R T_{2} \log \frac{V_{2}}{V_{1}}

である。

熱効率eの式は、高温熱源から受け取った熱量をQとして、正味の仕事をWとすれば、

e = \frac{W}{Q}

であった。これに、既に求めた、熱量Q₁とW₁₂を代入すれば、

e = \frac{W}{Q} = \frac{n R (T_{2} - T_{1}) \log (V_{2} / V_{1})}{n R T_{2} \log (V_{2} / V_{1})}

である。これを約分して整理すれば、

e = \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{2}}

である。これがカルノーサイクルの理論上の最高効率である。このカルノーサイクルの最高効率は、絶対温度だけで決まる。実際の熱機関の効率は、不可逆課程を含み、これよりも低くなるので、現実の熱効率まで式に含めたければ、不等号を用いて表せば良い。式を書くと

e

≦

\frac{T_{2} - T_{1}}{T_{2}}

となる。

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