数学演習/中学校3年生/式の計算/解答

問題はこちらにあります。

展開(1)

$z (x + y) = x z + y z$
$(x + 4) (x + 5) = x^{2} + 5 x + 4 x + 20 = x^{2} + 9 x + 20$
$(x + 3)^{2} = (x + 3) (x + 3) = x^{2} + 3 x + 3 x + 9 = x^{2} + 6 x + 9$
$(x - 6)^{2} = (x - 6) (x - 6) = x^{2} - 6 x - 6 x + 36 = x^{2} - 12 x + 36$
$(x + 5) (x - 5) = x^{2} + 5 x - 5 x - 25 = x^{2} - 25$
$(3 x + 4 y)^{2} = (3 x + 4 y) (3 x + 4 y) = 9 x^{2} + 12 x y + 12 x y + 16 y^{2} = 9 x^{2} + 24 x y + 16 y^{2}$
$(x + 2 y) (- x + 2 y) = (2 y + x) (2 y - x) = - x^{2} + 4 y^{2}$
$2 (x - 2 y)^{2} = 2 (x - 2 y) (x - 2 y) = 2 (x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}) = 2 x^{2} - 8 x y + 8 y^{2}$

複雑な式は一部を文字に置き換えることにより展開しやすくなる。ある程度まで計算が進んだら置いた文字を元に戻すことを忘れずに。

1.解答の途中で $a^{2} + b^{2} = A$ としている。

\begin{matrix} (a + b)^{4} & = ((a + b)^{2})^{2} \\ = (a^{2} + 2 a b + b^{2})^{2} \\ = (A + 2 a b)^{2} \\ = A^{2} + 2 \times A \times 2 a b + 4 a^{2} b^{2} \\ = A^{2} + 4 a b A + 4 a^{2} b^{2} \\ = (a^{2} + b^{2})^{2} + 4 a b (a^{2} + b^{2}) + 4 a^{2} b^{2} \\ = (a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4}) + 4 a^{3} b + 4 a b^{3} + 4 a^{2} b^{2} \\ = a^{4} + 4 a^{3} b + (4 + 2) a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4} \\ = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4} \end{matrix}

2.問題の $a + b = B$ とする。

\begin{matrix} (a + b + c) (a + b - c) & = (B + c) (B - c) \\ = B^{2} - c^{2} \\ = (a + b)^{2} - c^{2} \\ = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - c^{2} \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} - c^{2} \end{matrix}

$x y + y z = y (x + z)$
$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$
$x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5)^{2}$
$x^{2} - 8 x + 16 = (x - 4)^{2}$
$x^{2} - 100 = (x + 10) (x - 10)$
$12 x^{2} + x - 1 = (3 x + 1) (4 x - 1)$
$9 x^{2} - 4 y^{2} = (3 x + 2 y) (3 x - 2 y)$
$3 x^{2} + 12 x + 12 = 3 (x^{2} + 4 x + 4) = 3 (x + 2)^{2}$
$(4 x + 9) (x + 4) - 11 = 4 x^{2} + 25 x + 36 - 11 = 4 x^{2} + 25 x + 25 = (4 x + 5) (x + 5)$

1.問題の $x^{3} = X$ とする。

\begin{matrix} x^{6} - x^{3} - 6 & = (x^{3})^{2} - x^{3} - 6 \\ = X^{2} - X - 6 \\ = (X + 2) (X - 3) \\ = (x^{3} + 2) (x^{3} - 3) \end{matrix}

2.問題の $2 x + 3 y = C, 3 x - 4 y + D$ とする。

\begin{matrix} (2 x + 3 y)^{2} - (3 x - 4 y)^{2} & = C^{2} - D^{2} \\ = (C + D) (C - D) \\ = (2 x + 3 y + 3 x - 4 y) (2 x + 3 y - 3 x + 4 y) \\ = (5 x - y) (- x + 7 y) \end{matrix}

$201 \times 199 = (200 + 1) (200 - 1) = 20 0^{2} - 1^{2} = 39999$
$10 5^{2} = (100 + 5)^{2} = 10 0^{2} + 2 \times 100 \times 5 + 5^{2} = 10000 + 1000 + 25 = 11025$
$5 1^{2} - 4 9^{2} = (51 + 49) (51 - 49) = 100 \times 2 = 200$