初等幾何学/基本事項/直角であるということ

「垂直」「直角」といった語から、何を連想するでしょうか。 ここでは、中学・高校の数学の問題を解いている際、「垂直」「直角」から連想することができると便利な性質を列挙しておきます。

中学校の範囲

• 直角三角形の合同条件:直角三角形は、斜辺と他の一辺が等しければ合同である。また、斜辺と一つの鋭角が等しければ合同である。

• 平面上の3直線ℓ, $m$, $n$において、ℓ$\perp m$かつℓ$\perp m$ならば、$m//n$である。

• 対角線が垂直に交わり互いを等分する四角形はひし形である。

• 4つの角が直角である四角形は長方形である。

• 三平方の定理の逆: 3辺の長さが$a,b,c$である三角形において、$a^2+b^2=c^2$が成り立つならばその三角形は直角三角形である。
• 円周角の定理:円周角が直角ならば、対応する弦は直径である。

• 円の接線はその接点を通る直径と垂直に交わる。

高校の範囲

• $\sin \frac{\pi }{2}=1$

• $\cos \frac{\pi }{2}=0$

• $\tan \frac{\pi }{2}$は定義されない。

• 2直線$y=mx+n,y=m^{\prime }x+n^{\prime }$が垂直ならば、$m{m}^{\prime }=-1$

• ゼロベクトルでない2本のベクトルの内積が0ならば、これらのベクトルは直交している。

この他にも沢山あります。入試問題を解くときに是非注目してください。