線型代数学/計量ベクトル空間

このページでは、2、3次元の数ベクトルの長さや内積を拡張し、一般の線型空間のベクトルについても、長さ（ノルム）や内積を定義する。

2、3次元の数ベクトルの場合は、高等学校数学B ベクトルを参照のこと。

数ベクトルのノルム・内積

ノルム

ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは$||a||$で表され、

$||𝐚||=\sqrt{\sum _{i=1}^n|a_i{|}^2}$

と定義される。これをaのノルム （norm）と言う。

例

$𝐚=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 6\\ 2\\ 4\end{array}\right)$

$||𝐚||=\sqrt{3^2+5^2+6^2+2^2+4^2}=3\sqrt{1}0$

演習

次のベクトルのノルムを求めよ

1. $𝐚=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 8\\ 6\\ 3\end{array}\right)$
2. $𝐚=\left(\begin{array}{c}a\\ \sqrt{a}\\ 3a\\ \sqrt{3}a\end{array}\right)$

内積

ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。

$(𝐚,𝐛)=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$

をaとbの内積 （inner product）という。

特に2,3次元空間ベクトルaとbとの内積は、aとbのなす角をθとすると、

$(𝐚,𝐛)=|𝐚||𝐛|\cos \theta$

と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。

内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。

• (a,a)=||a||²
• aとbが直交する⇔(a,b)=0
• c(a,b)=(ca,b)=(a,cb)
• (a,b+c)=(a,b)+(a,c)
• (a+b,c)=(a,c)+(b,c)
• (a,b)=(b,a)
• ||a||+||b||≧||a+b||（三角不等式）
• |(a,b)|≦||a||||b||(シュワルツの不等式）

演習

空間ベクトル

$𝐱=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

とのなす角が$\frac{\pi }{6}$であり、かつ

$𝐲=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

とのなす角が$\frac{\pi }{4}$であるようなノルムが1のベクトルを求めよ。

注）そのようなベクトルはただひとつではない。

$ℝ,ℂ$ 上の線型空間でのノルム・内積

次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。

定義

$V$を$ℝ$または$ℂ$上の線型空間とする。（以下、$𝐊$ は一般の体ではなく、実数体 $ℝ$または複素数体 $ℂ$を指すことにする ）

$𝐱,𝐲\in V$ に対して、$𝐊$ の元をかえすような演算$(𝐱,𝐲)$が次の（Ⅰ）～（Ⅳ）の性質をみたすとき、$(𝐱,𝐲)$を内積という。

（Ⅰ）$(𝐱,{𝐲}_1+{𝐲}_2)=(𝐱,{𝐲}_1)+(𝐱,{𝐲}_2)$

$({𝐱}_1+{𝐱}_2,𝐲)=({𝐱}_1,𝐲)+({𝐱}_2,𝐲)$

（Ⅱ）$(c𝐱,𝐲)=c(𝐱,𝐲),(𝐱,c𝐲)=\overline{c}(𝐱,𝐲)$

（$\overline{c}$は$c$ の複素共役）

（Ⅲ）$(𝐱,𝐲)=\overline{(𝐲,𝐱)}$

（Ⅳ）$(𝐱,𝐱)\ge 0$

$(𝐱,𝐱)=0$ が成り立つのは、$𝐱=\mathrm{𝟎}$ のときに限る。

また、

$||𝐱||=\sqrt{(𝐱,𝐱)}$

で定義される量をxのノルムという。

このように、内積が定義された線型空間を計量ベクトル空間（計量線型空間）という。

例

１．$V={ℂ}^n,𝐱,𝐲\in {ℂ}^n$ のとき、

$(𝐱,𝐲)=\sum _{i=1}^n{x}_i{\overline{y}}_i$

とすれば、これは内積になっている。

２．$V=M(m,n;ℝ),A,B\in M(m,n;ℝ)$　のとき、

$(A,B)=Tr{(}^{t}AB)$

とすれば、これは内積になっている。（Trについては行列概論を参照）

３．$V=${$0\le x\le 1$上連続な関数} ,$f(x),g(x)$ は$0\le x\le 1$上連続な関数のとき、

$(f(x),g(x))=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)g(x)dx$

とすれば、これは内積になっている。

三角不等式・シュワルツの不等式

ここで定義した内積・ノルムに関しても数ベクトルの場合と同様に三角不等式・シュワルツの不等式が成り立つ。

定理　$\mathrm{\forall }𝐱,\mathrm{\forall }𝐲\in V$ に対して、次の（１）,（２）の不等式が成り立つ。

（１）$|(𝐱,𝐲)|\le ||𝐱||\cdot ||𝐲||$（シュワルツの不等式）

等号が成り立つのは、$𝐱=\alpha 𝐲$と書ける場合のみ。

（２）$||𝐱+𝐲||\le ||𝐱||+||𝐲||$

等号が成り立つのは、実数$\beta \ge 0$ を用いて、$𝐲=\beta 𝐱$ と書ける場合のみ。

（証明）（１）$a,b\in 𝐊$　とすると

$0\le ||a𝐱+b𝐲|{|}^2=(a𝐱+b𝐲,a𝐱+b𝐲)=|a{|}^2||𝐱|{|}^2+a\overline{b}(𝐱,𝐲)+\overline{a}b(𝐲,𝐱)+|b{|}^2||𝐲|{|}^2$

ここで、$a=||𝐲|{|}^2,b=-(𝐱,𝐲)$ とおけば、

$\begin{array}{cc}0& \le ||𝐲|{|}^4||𝐱|{|}^2-||𝐲|{|}^2\overline{(𝐱,𝐲)}(𝐱,𝐲)-||𝐲|{|}^2(𝐱,𝐲)\overline{(𝐱,𝐲)}+|(𝐱,𝐲){|}^2||𝐲|{|}^2\\ & =||𝐲|{|}^2(||𝐱|{|}^2||𝐲|{|}^2-|(𝐱,𝐲){|}^2)\\ \end{array}$

両辺を　$||𝐲|{|}^2$ で割り、正の平方根をとれば、

$|(𝐱,𝐲)|\le ||𝐱||\cdot ||𝐲||$　　となる。

等号が成り立つのは、$0=||a𝐱+b𝐲|{|}^2$ すなわち、$\mathrm{𝟎}=a𝐱+b𝐲$ となるときだから、$𝐱=\alpha 𝐲$　と書ける。

逆にこれが成り立つとき、不等号は等号になる□

（２）$\begin{array}{cc}||𝐱+𝐲|{|}^2=(𝐱+𝐲,𝐱+𝐲)& =||𝐱|{|}^2+(𝐱,𝐲)+(𝐲,𝐱)+||𝐲|{|}^2\\ & \le ||𝐱|{|}^2+2|(𝐱,𝐲)|+||𝐲|{|}^2\\ & \le ||𝐱|{|}^2+2||𝐱||||𝐲||+||𝐲|{|}^2\\ & =(||𝐱+𝐲||{)}^2\\ \end{array}$

したがって、正の平方根をとれば　$||𝐱+𝐲||\le ||𝐱||+||𝐲||$　となる。

1つ目の等号は $(𝐱,𝐲)$ が非負の実数となるときに成り立ち、2つ目の等号は　$𝐱=\alpha 𝐲$　と書けるとき成り立つ。この２つの条件から、実数$\beta \ge 0$ を用いて、$𝐲=\beta 𝐱$ と書けるときのみ等号が成立する□

基底の直交化

正規直交系

計量ベクトル空間$V$のベクトル$x_1,x_2,\cdots ,x_n$が互いに直交し、ノルムが1であるとき、つまり、$(x_i,x_j)=\{\begin{array}{cc}1& (i=j)\\ 0& (i\ne j)\end{array}$であるとき、ベクトル$x_1,x_2,\cdots ,x_n$は正規直交系(orthonormal system)であるという。ONSとも表される。

正規直交基底

計量ベクトル空間$V$の正規直交系$x_1,x_2,\cdots ,x_n$が、$⟨x_1,x_2,\cdots ,x_n⟩=V$であるとき、$x_1,x_2,\cdots ,x_n$は、正規直交基底(orthonormal basis)または、完全正規直交系(complete orthonormal system)であるという。CONSとも表される。

グラム・シュミットの直交化法

グラム・シュミットの直交化法のイメージ

計量ベクトル空間$V$の線形独立なベクトル$v_1,v_2,\cdots ,v_n$を使って正規直交系を作ることができる。

$\begin{array}{cc}{𝒖}_1& ={𝒗}_1\\ {𝒖}_2& ={𝒗}_2-\frac{({𝒖}_1,{𝒗}_2)}{({𝒖}_1,{𝒖}_1)}{𝒖}_1\\ {𝒖}_3& ={𝒗}_3-\frac{({𝒖}_1,{𝒗}_3)}{({𝒖}_1,{𝒖}_1)}{𝒖}_1-\frac{({𝒖}_2,{𝒗}_3)}{({𝒖}_2,{𝒖}_2)}{𝒖}_2\\ & ⋮\\ {𝒖}_n& ={𝒗}_n-\frac{({𝒖}_1,{𝒗}_n)}{({𝒖}_1,{𝒖}_1)}{𝒖}_1-\frac{({𝒖}_2,{𝒗}_n)}{({𝒖}_2,{𝒖}_2)}{𝒖}_2-\cdots -\frac{({𝒖}_{n-1},{𝒗}_n)}{({𝒖}_{n-1},{𝒖}_{n-1})}{𝒖}_{n-1}\\ \end{array}$

とすると、$u_1,u_2,\cdots ,u_n$は互いに直行するベクトルとなる。

$e_i=\frac{u_i}{||u_i||}$とすると、$e_1,e_2,\cdots ,e_n$は正規直交系となる。

これをグラム・シュミットの直交化法(Gram–Schmidt orthonormalization)という。