解析学基礎/ベクトル

n次元ベクトル(vector)とは、n個の複素数の組

$a=(a_1,a_2,,,a_n)$ の事である。n次元ベクトル(∀n ∈ N)を総じてベクトルという。 $a_1,a_2,,,a_n$は、ベクトルaの要素(element)と呼ばれていて、要素がすべて実数のベクトルを特に実ベクトルと言う。対して、要素がすべて複素数のベクトルを特に複素ベクトルと言う。ベクトルには大きさも定義されていて、それは||a||で表され、

$||a||=\sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}$

と、定義される。これをaのノルムと言う。

例

$a=(3,5,6,2,4)$

$||a||=\sqrt{3^2+5^2+6^2+2^2+4^2}=3\sqrt{1}0$

演習

次のベクトルのノルムを求めよ

$(1)a=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)$

$(2)a=(2,4,6,8,0,9,3)$

$(3)a=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$

$(4)a=(3,4)$

$(5)a=(a,\sqrt{a},3a,\sqrt{3}a)$

二次元、三次元実ベクトルは、二次元空間$(R^2)$三次元空間$(R^3)$ 内の、大きさと方向を持った量を表し、通常矢印で表される。このベクトルを特に空間ベクトルと言う。 空間ベクトルの中でも特に、点の座標を表すものを位置ベクトルという。 空間ベクトル、位置ベクトルにおけるノルムは、それぞれ長さ、距離と呼ばれ|a|と表記される。 一般にベクトルには和、差、内積、外積が定義されている。 それぞれは、成分の個数が同じ時だけ次のように定義される。

ベクトルの和

$a=(a_1,a_2,,,a_n)$

$b=(b_1,b_2,,,b_n)$

とすると、

$a+b=(a_1+b_1,a_2+b_2,,,a_n+b_n)$

ベクトルの差

$a=(a_1,a_2,,,a_n)$

$b=(b_1,b_2,,,b_n)$

とすると、

$a-b=(a_1-b_1,a_2-b_2,,,a_n-b_n)$

ベクトルの内積

$a=(a_1,a_2,,,a_n)$

$b=(b_1,b_2,,,b_n)$

とすると、

$(a,b)=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$

位置ベクトルにおいては、その交角をθとすると特に、

$(a,b)=|a||b|\cos \theta$

と表される。

演習

空間ベクトル(1,1,1)とπ/6,(1,1,4)とπ/4を交角とするベクトルを求めよ