解析学基礎/微分の応用

微分の使うことで解けるようになる最も典型的な問題は、関数の極値を求める問題である。導関数とは関数の変化率なのであるから、微分可能な関数は、導関数の符号が変わる点で極値を取る。

例題 $y={\cos }^{2}x$の極値を求めよう。

$y^{\prime }=-2\cos x\sin x$

なので、$y^{\prime }=0$となるのは

$x=\frac{n}{2}\pi (n\in \mathbb{Z})$

であり、これらの点ではy'の符号が変わる。よって極値は、

$x=\frac{n}{2}\pi (n\in \mathbb{Z})$

のとき

$y=0,1$

演習 - 次の関数の極値を求めよ。

1. $y=x^3-2x^2+x$
2. $y=e^x\cos x$