物理数学II フーリエ解析

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フーリエ級数

フーリエ級数とは$\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_k\cos kx+b_k\sin kx),(-\pi <x<\pi )$のようにある関数$f(x)$を三角関数の無限和で表したものである。

$-\pi <x<\pi$におけるフーリエ級数

xの定義域を$(-\pi <x<\pi )$と定義したとき、フーリエ級数は

$\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_k\cos kx+b_k\sin kx),(-\pi <x<\pi )$

で表される。このとき$a_n$と$b_n$は

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos nxdx,(n=0,1,2,3,\cdots )$

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin nxdx,(n=1,2,3,\cdots )$

で表される。

$f(x)=x,(-\pi <x<\pi )$のフーリエ級数

$f(x)=x$は奇関数なので$a_n$は

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}x\cos nxdx=0$

となる。また$b_n$は

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}x\sin nxdx=-\frac{2\cos n\pi }{n}=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}$

となる。よって$f(x)=x,(-\pi <x<\pi )$のフーリエ級数は

$x=2(\sin x-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{3}\sin 3x-\cdots )$

となる。