高校受験数学/解答と解説

大問1

解答

1. $4\sqrt{2}$
2. $x^{16}+x^8+1$
3. $(x^2+1)(x+1)(x-1)$
4. a ≦ -7
5. a < 10
6. b = 4
7. 小問の解答
   1. $a=\sqrt{2}$
   2. $x=2\pm \sqrt{3}$
   3. t = 2.75, 3

解説

問1

$\begin{array}{ccc}& =& \frac{{(3\sqrt{2}-10\sqrt{2}+3\sqrt{2})}^2}{5\sqrt{2}+9\sqrt{2}-10\sqrt{2}}\\ & =& \frac{{(-4\sqrt{2})}^2}{4\sqrt{2}}\\ & =& \frac{{\left(4\sqrt{2}\right)}^2}{4\sqrt{2}}\\ & =& \underset{\_}{\underset{\_}{4\sqrt{2}}}\end{array}$

問2

$\begin{array}{ccc}& =& \left\{(x^2+x+1)(x^2-x+1)\right\}(x^4-x^2+1)(x^8-x^4+1)\\ & =& \{(x^4+2x^2+1)-x^2\}(x^4-x^2+1)(x^8-x^4+1)\\ & =& (x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)(x^8-x^4+1)\\ & =& (x^8+x^4+1)(x^8-x^4+1)\\ & =& \underset{\_}{\underset{\_}{x^{16}+x^8+1}}\end{array}$

左から掛けていくと、次々に和と差の積の公式が使える形が表れていくのがポイントである。