中学数学3年 式の計算

式の乗法・除法

2 年までに式の加減や、単項式の乗除をやってきたわけであるが、3 年では式の乗除を学習する。はじめに、（単項式）×（多項式）や、（多項式）×（単項式）の形の計算をやってみよう。

多項式と単項式の乗除

このような式は、分配法則を利用して計算することができる。

(a + b)c = ac + bc

c(a + b) = ca + cb

また、多項式 ÷ 単項式の計算も、多項式 ÷ 数の場合と同じように計算することができる。

多項式の乗法

次に、多項式同士の積を考えてみよう。

(a + b)(c + d)

はどうなるだろうか。仮に、(c + d) = A と置き換えてみると、

(a + b)A = aA + bA

となるので、A をここで元に戻してみる。すると、

$\begin{array}{ccc}aA+bA& =& a(c+d)+b(c+d)\\ & =& ac+ad+bc+bd\end{array}$

すなわち、(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd となる。ここで見られるように、「積の形で書かれた式を整理し、式の値を保ったまま、和の形にすること」を、「元の式を多項式に展開（てんかい）する」という。 展開した式が同類項を含むときは、2 年で学習したとおり、まとめて簡単な式に整理することができる。

展開公式

(x + a)(x + b) の展開

$(x+a)(x+b)$ を展開してみよう。

$(x+a)(x+b)$	$=x^2+bx+ax+ab$
	$=x^2+(a+b)x+ab$

となり、

x の係数は a と b の和、

定数項は a と bの積

になる。

(x+a)(x+b) の展開公式

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

(a + b)², (a - b)² の展開

$(a+b{)}^2$	$=(a+b)(a+b)$
	$=a^2+ab+ab+b^2$
	$=a^2+2ab+b^2$

同様に、

$(a-b{)}^2$	$=(a-b)(a-b)$
	$=a^2-ab-ab+b^2$
	$=a^2-2ab+b^2$

このような形の展開公式を、とくに平方公式（へいほう こうしき）という場合がある。それは、展開する前の元の式が、一次式の 2 乗の形、すなわち平方の式を展開する公式になっているからである。

平方公式

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

(a + b)(a - b) の展開

$(a+b)(a-b)$	$=a^2-ab+ab-b^2$
	$=a^2-b^2$

このような、同じ数についての和と差との積を求めることができる公式を、和と差の積という。

和と差の積

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

因数分解

素因数分解

(注意 2021年以降に中学3年生になった方は、この内容は中1で学ぶこととなりました。) 最初に、この問題を考えてみよう。

例題

48 を 1 より大きい 2 つの整数の積であらわしなさい。

これは例えば 48 = 8 × 6 とできるので、これが1つの答えである。

このように、

整数がいくつかの整数の積の形に表すことができるとき、その 1 つ 1 つの数のことを、もとの数の 因数（いんすう）という。

この問題は 8 と 6 が 48 の因数と言うことができる。また、48 はほかにも 4 × 12 とか、3 × 16 とあらわすことができるため、4 と 12 も 48の因数 といえるし、3 と 16 も 48の因数 といえる。

2 や 3 や 5 や 7は、それより小さい自然数の積であらわすことはできない。このような数を 素数 （そすう）という。
ただし、1は素数にふくめない。

48 ＝8×6　であったが、8＝2×2×2であり6＝2×3であるため、48は次のようにも分解することもできる。

48 = （2 × 2 × 2） × （2 × 3） ＝ 2 × 2 × 2 × 2 × 3

このように、因数をさらに小さい因数の積に分解していくと、最後には、素数の積だけで表すことができる。

（この計算例の素数である因数の 2 や 3 のように、）

素数である因数のことを素因数（そいんすう）という。

そして、

自然数を素数の積として表すことを素因数分解（そいんすうぶんかい）という。

例題にある 48 を素因数分解したときの結果は、

$48=2^4\times 3$

のように指数で表すと見やすい。

こんどは、さきほどの数 48 を 4 × 12 をもとに素因数分解してみましょう。

4×12 ＝ （2×2）×（2×2×3）＝ $48=2^4\times 3$

となり、同じく $48=2^4\times 3$ の結果になります。

このように素因数分解はどのような順序で行っても、結果は同じになる。

例題

80を素因数分解してみよう。右図のように、小さい素数から始めて、次々に割り算していくと、手間はかかるが、確実に素因数分解を行うことができる。この筆算を「簾算(すだれざん)」とよぶ。

2	)	80
2	)	40
2	)	20
2	)	10
		5

よって、

80 ＝ 2⁴ × 5

80の計算では、因数 8 が目立つが、しかし右の計算例のように素数（例の場合は素数 2 ）で素因数分解していくことに気をつけよう。

※ 発展: コラム

コラム・1はなぜ素数でないか

1が素数でないことについては上でも述べたが、別の説明の仕方をすることもできる。

当たり前のことだと思うかもしれないが、素因数分解は次のような性質を持つ。これを算術の基本定理といい、本当は証明すべき立派な定理なのだが、ここでは証明しない。（中学生向けの書き方はしていないが、w:算術の基本定理に証明があるので気になる読者は参照のこと）

• すべての自然数は素因数分解することができる。
• ある自然数を素因数分解したとき、その分解の仕方は素数の並べ方を除いて一通りしかない。

分解の仕方は一通りというのは、誰が素因数分解しようとも必ず同じ分解になる、ということである。（当たり前すぎて逆にわかりにくいと感じるかもしれない。）

しかし、もし1が素数だとすると、この性質は成り立たなくなる。なぜならば、6=2×3だが、たとえばこれを6=1×1×2×3ともあらわせて、分解の仕方が一通りではなくなるからである。ゆえに、1を素数とは呼ばないのである。

因数分解

たとえば、(x + 2)(x - 2) を展開すると x² - 4 となる。このことから、x² - 4 は、このように積の形に表すことができる。

$x^2-4=(x+2)(x-2)$

このような文字の式の場合も、整数の場合と同じように、x + 2 や x - 2 を x² - 4 の因数（いんすう）という。

一般に、「多項式をいくつかの因数の積の形に表すこと」を因数分解（いんすうぶんかい、英: factorization）という。上の例から、因数分解は展開の逆の操作と言える。

それで、因数分解の仕方を学習しよう。

共通因数を取り出す

次の数の因数分解を考えてみよう。

An + Am

この多項式には、どの項にも A という共通な因数がある。その共通な因数のことを共通因数（きょうつういんすう）という。その共通因数 A を取り出すことで、次のように因数分解をすることができる。

$An+Am=A(n+m)$

この式の右辺は分配法則を用いて展開すると元の式に戻るため、正しく因数分解されていることがわかる。

このように共通因数を取り出して因数分解することを「共通因数のくくりだし」という。因数分解をするときには、まず手始めに共通因数のくくりだしができないか考えるとよい。

乗法公式を利用する

それでは、共通因数がなかったらどうすればよいのだろうか。

ここで、因数分解とは何だったかを思い出してみよう。因数分解とは展開の逆の操作だったはずである。だから、乗法公式を逆に利用して、因数分解ができないか考えればよい。展開公式も乗法公式の一部である。

乗法公式

$a^2-b^2$$=(a+b)(a-b)$ $a^2+2ab+b^2$$=(a+b{)}^2$ $a^2-2ab+b^2$$=(a-b{)}^2$ $x^2+(a+b)x+ab$$=(x+a)(x+b)$

それぞれの乗法公式の行頭に示してある番号は、あくまで説明用に書いているだけなので、覚える必要はありません。これらを使って、できるだけ細かく因数分解をする。

例

2x²-4xy+2y²

これは、まず共通因数の2でくくりだし、その後乗法公式の3.を利用して因数分解すればよい。

正解は

$2x^2-4xy+2y^2$	$=2(\underset{\_}{x^2-2xy+y^2})$
	$=2(x-y{)}^2$

演習問題

次の式を、因数分解しなさい。

1. x ² - 4x + 3
2. x ² - 12x + 35
3. x ² + 3x - 10
4. x ² + 6x + 5
5. x ² + 11x + 18
6. x ² - 3x - 108
7. x ² - x - 12
8. x ² - 2x - 24
9. x ² - x - 72

（答えはこのページのいちばん下にあります）

利用

展開や因数分解は非常に重要で、これから高校、大学と使用することになる。また、高校に入れば新たに習う乗法公式もある。しかし基本となるのは今までに学習した公式や、その考え方である。ここでは、ここまでの公式や考え方を用いて、ある形の計算を簡単に行う方法を学ぶ。

数式の計算

例題

$51\times 49$を計算しなさい。

このような計算は、普段は筆算で行うことが多いだろう。しかし、展開や因数分解を使うと、もっと簡単に速く正確に解ける。

この式を次のように変形すると、

$(50+1)\times (50-1)$

となり、

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

と同じ形になるので、答えは以下のようになる。

$\begin{array}{cc}51\times 49& =(50+1)\times (50-1)\\ & =50^2-1^2\\ & =2500-1\\ & =2499\end{array}$

電卓で計算してみても同じ結果になる。確かめてみよう。

演習問題の解答

1. (x - 1)(x - 3)
2. (x - 5)(x - 7)
3. (x - 2)(x + 5)
4. (x + 1)(x + 5)
5. (x + 2)(x + 9)
6. (x + 9)(x - 12)
7. (x + 3)(x - 4)
8. (x + 4)(x - 6)
9. (x + 8)(x - 9)