初等数学公式集/初等代数/展開公式

テンプレート:Pathnav ここでは展開公式の解説をします。

基本的な形

• $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

証明

$A=(a+b)$と置くと、この式は、$A(c+d)$となる。

分配法則を適用すると、$Ac+Ad$。

$A$を戻すと$(a+b)c+(a+b)d$。

それぞれに分配法則を適用すると、$ac+ad+bc+bd$となり証明された。

演習問題 以下の式を展開せよ。

1. $(x-2)(2x+5)$
2. $(2a-4b)(5c+d)$

解答

1. $2x^2+x-10$
2. $10ac+2ad-20bc-4bd$

2数の和・差の2乗

• $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

証明

• $(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a-b{)}^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2$

演習問題 以下の式を展開せよ。

1. $(x+1{)}^2$
2. $(2a+4b{)}^2$
3. $(5a-3b{)}^2$

解答

1. $x^2+2x+1$
2. $4a^2+16ab+16b^2$
3. $25a^2-30ab+9b^2$

和と差の積

• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

証明

$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$

演習問題　以下の式を展開せよ。

1. $(5x+1)(5x-1)$
2. $(2a-3b)(2a+3b)$

解答

1. $25x^2-1$
2. $4a^2-9b^2$

一般的な2次の展開公式

• $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
• $(ax+b)(cx+d)=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$

証明

$(x+a)(x+b)=x^2+bx+ax+ab=x^2+(a+b)x+ab$

$(ax+b)(cx+d)=ac{x}^2+adx+bcx+bd=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$

演習問題　以下の式を展開せよ。

1. $(x+1)(x+3)$
2. $(2x-3)(5x+5)$
3. $(7ab+9)(-2ab+10)$

解答

1. $x^2+4x+3$
2. $10x^2-5x-15$
3. $-14a^2{b}^2+52ab+90$

2数の和・差の3乗

• $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
• $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

証明

• $(a+b{)}^3=(a+b{)}^2(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a(a^2+2ab+b^2)+b(a^2+2ab+b^2)=a^3+2a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b+2a{b}^2+b^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

• $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$の$b$に$-b$を代入すると、$(a-b{)}^3=a^3+3a^2(-b)+3a(-b{)}^2+(-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

演習問題　以下の式を展開せよ。

1. $(2a+b{)}^3$
2. $(4x^2-7{)}^3$

解答

1. $8a^3+12a^{2}b+6a{b}^2+b^3$
2. $64x^6-336x^4+588x^2-343$

2数の3乗の和・差

• $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
• $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

3数の和のn乗

• $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
• $(a+b+c{)}^3=a^3+b^3+c^3+3a^{2}b+3a{b}^2+3b^{2}c+3b{c}^2+3c^{2}a+3a^{2}c+6abc$
• $(a+b+c{)}^4=a^4+b^4+c^4+4a^{3}b+4a{b}^3+4b^{3}c+4c{a}^3+4b{c}^3+4c^{3}a+6a^2{b}^2+6b^2{c}^2+6c^2{a}^2+12a^{2}bc+12a{b}^{2}c+12ab{c}^2$

その他の展開公式

• $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$
• $(x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc$
• $(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\cdots +b^{n-1})=a^n-b^n$