高等学校 物理/万有引力

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惑星の運動

★公転周期Ｔと軌道長半径α

惑星	Ｔ（年）	α（天文単位）
水星	0.241	0.387
金星	0.615	0.723
地球	1	1
火星	1.88	1.52
木星	11.9	5.20
土星	29.5	9.55
天王星	84	19.2
海王星	165	30.1

重力

$mg=G\frac{Mm}{R^2}$

変形して

$g=\frac{GMm}{R^{2}m}$

$g=\frac{GM}{R^2}$

$GM=g{R}^2$

人工衛星

●証明

運動方程式（質量×加速度＝力）を使って導きます。

$m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}$

人工衛星は地球の周りを回っているので、円運動の加速度（加速度＝速度×速度÷半径）になります。

$a=\frac{v^2}{r}$

力については、万有引力の公式（力＝万有引力定数×大きい方の質量×小さい方の質量÷［距離×距離］）を使います。

$F=G\frac{Mm}{r^2}$

以上を１つにまとめます。

$m\frac{v^2}{r}=G\frac{Mm}{r^2}$

ここから先はvを求めるために変形します。

$v^2\frac{m}{r}=G\frac{Mm}{r^2}$

移項します。移項すると割り算になりますが、掛け算に直すために逆数にしてみましょう。

$v^2=G\frac{Mmr}{r^{2}m}$

約分して

$v^2=G\frac{M}{r}$

平方根を付けて、

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

になります。

万有引力の位置エネルギー

★証明１

無限等比級数を使います。こちらの方が初学者に分かりやすいかもしれません。

$W=-G\frac{Mm}{r}$

$U=-G\frac{Mm}{r}$

★証明２

一般的な証明をします。面積に関する数学単元（積分）を使うので、難しい証明方法になります。

$W=\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r}{\int }}G\frac{Mm}{r^2}dr$

$W=GMm\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r}{\int }}\frac{1}{r^2}dr$

$W=GMm\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r}{\int }}{r}^{-}2dr$

$W=GMm\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r}{\int }}[\frac{1}{-2+1}{r}^{-2+1}]$

$W=GMm\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r}{\int }}[\frac{1}{-1}{r}^{-1}]$

$W=GMm\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r}{\int }}[-\frac{1}{r}]$

$W=GMm(-\frac{1}{r}-0)$

$W=-G\frac{Mm}{r}$

$U=-G\frac{Mm}{r}$

資料出所

• 『改訂　物理』、東京書籍、2020年(2017年検定)
• 『物理　改訂版』、新興出版社啓林館、2020年(2017年検定)
• 『高等学校 改訂　物理』、第一学習社、2020年(2018年検定)
• 『高校の物理が1冊で丸ごとわかる』小川慎一郎著　2022年 ベレ出版
• 『東京大学の先生伝授 文系のためのめっちゃやさしい 物理』松尾 泰著　2021年 ニュートンプレス
• 『始まりから知ると面白い物理学の授業』左巻 健男著　2020年　山と渓谷社
• 『チャート式シリーズ新課程　新物理 物理基礎・物理』都築嘉弘ほか著　2023年　数研出版