線型代数学/クラメルの公式

テンプレート:Wikipedia 線型代数学/線型方程式の解では、未知数がn個、方程式の数が、m個である線形方程式の解について学んだが、ここでは、未知数が、n個、方程式の数がn個である線形方程式の解について学ぶ。

クラメルの公式

$\{\begin{array}{c}{a}_{1,1}{x}_1+a_{1,2}{x}_2+\cdots +a_{1,n}{x}_n=b_1\\ a_{2,1}{x}_1+a_{2,2}{x}_2+\cdots +a_{2,n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{n,1}{x}_1+a_{n,2}{x}_2+\cdots +a_{n,n}{x}_n=b_n\end{array}$

という、線形方程式は、 $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right),𝐱=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),𝐛=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$ を用いて、

$A𝐱=𝐛$と表すことができる。

クラメルの公式とは、 行列Aのj列目が$𝐛$になっている行列$A_j=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,j-1}& b_1& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \cdots & a_{2,j-1}& b_2& a_{2,j+1}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& \cdots & a_{n,j-1}& b_n& a_{n,j+1}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right)$を用いて、

この線形方程式の解は、$x_j=\frac{|A_j|}{|A|}$である。というものである。

証明

この線形方程式は、$A𝐱=𝐛$と表すことができる。 $A^{-1}$を左からかければ、$𝐱=A^{-1}𝐛$である。
線形代数学/余因子行列で求めた式$A^{-1}=\frac{\tilde{A}}{|A|}$ を用いれば、$𝐱=\frac{\tilde{A}}{|A|}𝐛$
$𝐱=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{ccccc}{\tilde{a}}_{1,1}& {\tilde{a}}_{2,1}& {\tilde{a}}_{3,1}& \cdots & {\tilde{a}}_{n,1}\\ {\tilde{a}}_{1,2}& {\tilde{a}}_{2,2}& {\tilde{a}}_{2,3}& \cdots & {\tilde{a}}_{n,2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\tilde{a}}_{n,1}& {\tilde{a}}_{n,2}& {\tilde{a}}_{n,3}& \cdots & {\tilde{a}}_{n,n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$
展開すれば、 $𝐱=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{c}{b}_1{\tilde{a}}_{1,1}+b_2{\tilde{a}}_{2,1}+b_3{\tilde{a}}_{3,1}+\cdots +b_n{\tilde{a}}_{n,1}\\ b_1{\tilde{a}}_{1,2}+b_2{\tilde{a}}_{2,2}+b_3{\tilde{a}}_{3,2}+\cdots +b_n{\tilde{a}}_{n,2}\\ ⋮\\ b_1{\tilde{a}}_{n,1}+b_2{\tilde{a}}_{n,2}+b_3{\tilde{a}}_{n,3}+\cdots +b_n{\tilde{a}}_{n,n}\end{array}\right)$
この行列のj行目は、$x_j=b_1{\tilde{a}}_{1,j}+b_2{\tilde{a}}_{2,j}+\cdots +b_n{\tilde{a}}_{n,j}$なので、左辺のj行目は、行列Aのj列目が$𝐛$になっている行列 $A_j=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,j-1}& b_1& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \cdots & a_{2,j-1}& b_2& a_{2,j+1}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& \cdots & a_{n,j-1}& b_n& a_{n,j+1}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right)$ をj列目で、余因子展開したものと一致する。
よって、$x_j=\frac{|A_j|}{|A|}$である。

演習問題

以下の一次連立方程式を解け。

(1) $\{\begin{array}{c}ax+by=c\\ dx+ey=f\end{array}$

(2)$\{\begin{array}{c}x+y+z=1\\ ax+by+cz=d\\ a^{2}x+b^{2}y+c^{2}z=d^2\end{array}$($a,b,c$ は互いに異なる実数)

解答・解説

(1) $ae-bd\ne 0$ のとき、クラメルの公式より、$x=\frac{ce-bf}{ae-bd},y=\frac{af-cd}{ae-bd}.$$ae-bd=0$ の場合は、$bf-ce=0$ のときのみ解が存在し、その解は $ax+by=c$ を満たす $(x,y)$ 全体。

(2) クラメルの公式から、行列式はすべてヴァンデルモンドの行列式となるから、$x=\frac{(c-b)(c-d)(b-d)}{(c-b)(c-a)(b-a)},y=\frac{(c-d)(c-a)(d-a)}{(c-b)(c-a)(b-a)},z=\frac{(d-b)(d-a)(b-a)}{(c-b)(c-a)(b-a)}$