「制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理」の版間の差分

2022年11月23日 (水) 13:10時点における最新版

いままでの議論から分かるように，線形定常な連立微分方程式の解法においては， $(s I - A)^{- 1}$ の原像を求めることがすべてである．そのとき中心的な役割を果たすのが Cayley-Hamilton の定理である．よく知られているように， $s I - A$ の行列式を $A$ の固有多項式あるいは特性多項式という． $A$ が $n$ 次の行列ならば，それも $s$ の $n$ 次の多項式となる．いまそれを，テンプレート:制御と振動の数学/equation とおくことにしよう．このとき，テンプレート:制御と振動の数学/equation が成立する．これが Cayley-Hamilton の定理である．

定理 5. 1 (Cayley-Hamilton)

行列 $A$ の固有多項式を $p (s)$ とすると，テンプレート:制御と振動の数学/equation が成立する．

証明

$s I - A$ の余因子行列を $B (s)$ とすると，テンプレート:制御と振動の数学/equation と書ける． $B (s)$ の要素は高々 $n - 1$ 次の $s$ の多項式であるので，テンプレート:制御と振動の数学/equation と表すことができる．これと式 (5.16) とから，テンプレート:制御と振動の数学/equation とおいて^[1]，左右の $s$ のべきの係数を等置すると，テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る^[2]．これらの式から $B_{i}$ を消去すれば，テンプレート:制御と振動の数学/equation が得られる． $♢$

式 (5.19) から $B_{i}$ を消去する方法は，上から順に $A^{n}, A^{n - 1}, A^{n - 2}, \dots A^{2}, A, I$ を掛けて，それらをすべて加えればよい^[3]．

↑ 式 (5.16) の両辺に $p (s) (s I - A)$ を左から掛ける．
↑ $p (s) I = (s I - A) (B_{0} s^{n - 1} + B_{1} s^{n - 2} + B_{2} s^{n - 3} + \dots + B_{n - 2} s + B_{n - 1})$
実際に展開すると、

$(s^{n} + a_{1} s^{n - 1} + a_{2} s^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} s + a_{n}) I = B_{0} s^{n} + B_{1} s^{n - 1} + B_{2} s^{n - 2} + \dots + B_{n - 2} s^{2} + B_{n - 1} s$

$- A B_{0} s^{n - 1} - A B_{1} s^{n - 2} - \dots - A B_{n - 2} s - A B_{n - 1}$

$= B_{0} s^{n} + (B_{1} - A B_{0}) s^{n - 1} + (B_{2} - A B_{1}) s^{n - 2} + \dots + (B_{n - 1} - A B_{n - 2}) s - A B_{n - 1}$
$s^{i} (i = 0 \dots n - 1)$ の係数を比較して，

${\begin{matrix} I & = & B_{0} \\ a_{1} I & = & B_{1} - A B_{0} \\ a_{2} I & = & B_{2} - A B_{1} \\ ⋮ \\ a_{n - 1} I & = & B_{n - 1} - A B_{n - 2} \\ a_{n} I & = & - A B_{n - 1} \end{matrix}$
したがって $A B_{i}$ の項を移項して
${\begin{matrix} I & = & B_{0} \\ A B_{0} + a_{1} I & = & B_{1} \\ A B_{1} + a_{2} I & = & B_{2} \\ ⋮ \\ A B_{n - 2} + a_{n - 1} I & = & B_{n - 1} \\ A B_{n - 1} + a_{n} I & = & O \end{matrix}$
↑ ${\begin{matrix} A^{n} B_{0} & = A^{n} \\ A^{n - 1} B_{1} & = A^{n} B_{0} & + a_{1} A^{n - 1} \\ A^{n - 2} B_{2} & = A^{n - 1} B_{1} & + a_{2} A^{n - 2} \\ A^{n - 3} B_{3} & = A^{n - 2} B_{2} & + a_{3} A^{n - 3} \\ ⋮ \\ A B_{n - 1} & = A^{2} B_{n - 2} & + a_{n - 1} A \\ O & = A B_{n - 1} & + a_{n} I \end{matrix}$

もう一つの方法は上の段の結果を下の段に代入し， $B_{0}, B_{1}, B_{2}, \dots$ の順に逐次消去してもよい．この方法をまとめておこう．

テンプレート:制御と振動の数学/equation と逐次多項式 $p_{i}$ を定義すれば，テンプレート:制御と振動の数学/equation と書くことができる^[1]．ただし， $B_{0} = p_{0} (A) = I$ である．この結果より式 (5.18) は，テンプレート:制御と振動の数学/equation となり，したがってまた，テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る^[2]．

↑ 式 (5.19) の $B_{i + 1}$ を $p_{i + 1} (s)$ ，したがって， $B_{i}$ を $p_{i} (s)$ ， $s$ を $A$ を置き換える． $B_{i}$ を $A$ で表現することから， $p_{i} (s)$ を $s$ の関数とし， $s$ に $A$ を代入する見通しである．
↑ 式 (5.21) の両辺を $p (s)$ でわると，

$I = (s I - A) {I \frac{s^{n - 1}}{p (s)} + p_{1} (A) \frac{s^{n - 2}}{p (s)} + p_{2} (A) \frac{s^{n - 3}}{p (s)} + \dots + p_{n - 2} (A) \frac{s}{p (s)} + p_{n - 1} (A) \cdot \frac{1}{p (s)}}$
すなわち

$(s I - A)^{- 1} = I \frac{s^{n - 1}}{p (s)} + p_{1} (A) \frac{s^{n - 2}}{p (s)} + p_{2} (A) \frac{s^{n - 3}}{p (s)} + \dots + p_{n - 2} (A) \frac{s}{p (s)} + p_{n - 1} (A) \cdot \frac{1}{p (s)}$

注意

式 (5.19) は受験数学でなじみ深い組立除法，テンプレート:制御と振動の数学/equation にほかならない． $p (A)$ は余りである．式 (5.18) を見ると $p (s) I$ が $(s I - A)$ で割り切れることを示している．よって剰余の定理より，テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．つまり， Cayley-Hamilton の定理は剰余の定理や因数定理と同じものである．それでは式 (5.18) の $s$ を $A$ とおいていきなり $p (A) I = O$ としてよいかという疑問が起きる．結論をいえばそれでよいのである．ただ注意しなければならないのは，式 (5.18) の等式は $s$ と $B_{i}$ と交換できることが前提になって成立している． $s$ にある行列を代入したとき，その行列と $B_{i}$ が交換可能のときのみ，左右の式が等しくなる．式 (5.20) から明らかなように， $A$ と $B_{i}$ とは交換可能である^[1]．それゆえ式 (5.18) に $A$ を代入して，この定理を証明してもよい．しかし，この証明法に従うときには， $A$ と $B_{i}$ の交換可能性を前もって別に証明しておかねばならない．

↑ $p_{1} (s) = s I + a_{1} I, ∴ B_{1} = p_{1} (A) = A + a_{1} I$ で $A^{n + 1} = A \cdot A^{n} = A^{n} \cdot A$ であるから $B_{1}$ と $A$ は可換，
$p_{2} (s) = s p_{1} (s) + a_{2} I = s (s I + a_{1} I) + a_{2} I = s^{2} I + s a_{1} I + a_{2} I, ∴ B_{2} = A^{2} + a_{1} A + a_{2} I$ より，同様の理由で $B_{2}$ と $A$ は可換．
以下必要なだけ帰納的に続ければ $B_{i}$ と $A$ は可換であることがわかる．

例115

式 (5.20) を用いずに， $A$ と $B_{i}$ が交換可能であることを示せ．

解答例

$A$ の逆行列が存在するならば，

A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = I

より，

(s I - A)^{- 1} (s I - A) = (s I - A) (s I - A)^{- 1}

式 (5.16) ，

(s I - A)^{- 1} = \frac{B (s)}{p (s)}

を代入して両辺に $p (s)$ を掛ければ，

B (s) (s I - A) = (s I - A) B (s)

，

B (s) = B_{0} s^{n - 1} + B_{1} s^{n - 2} + B_{2} s^{n - 3} + \dots + B_{n - 3} s^{2} + B_{n - 2} s + B_{n - 1}

を代入して、両辺にあらわれる同じ $s$ のべき乗の係数を等置すると，

{\begin{matrix} s^{n} : & B_{0} & = B_{0} \\ s^{n - 1} : & - B_{0} A + B_{1} & = - A B_{0} + B_{1} \\ s^{n - 2} : & - B_{1} A + B_{2} & = - A B_{1} + B_{2} \\ s^{n - 3} : & - B_{2} A + B_{3} & = - A B_{2} + B_{3} \\ ⋮ \\ s^{2} : & - B_{n - 3} A + B_{n - 2} & = - A B_{n - 3} + B_{n - 2} \\ s : & - B_{n - 2} A + B_{n - 1} & = - A B_{n - 2} + B_{n - 1} \\ 1 : & - B_{n - 1} A & = - A B_{n - 1} \end{matrix}

すなわち， $A$ と $B_{i}$ は可換である．

$♢$

[1] 式 (5.16) の両辺に $p (s) (s I - A)$ を左から掛ける．

[2] $p (s) I = (s I - A) (B_{0} s^{n - 1} + B_{1} s^{n - 2} + B_{2} s^{n - 3} + \dots + B_{n - 2} s + B_{n - 1})$
実際に展開すると、

$(s^{n} + a_{1} s^{n - 1} + a_{2} s^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} s + a_{n}) I = B_{0} s^{n} + B_{1} s^{n - 1} + B_{2} s^{n - 2} + \dots + B_{n - 2} s^{2} + B_{n - 1} s$

$- A B_{0} s^{n - 1} - A B_{1} s^{n - 2} - \dots - A B_{n - 2} s - A B_{n - 1}$

$= B_{0} s^{n} + (B_{1} - A B_{0}) s^{n - 1} + (B_{2} - A B_{1}) s^{n - 2} + \dots + (B_{n - 1} - A B_{n - 2}) s - A B_{n - 1}$
$s^{i} (i = 0 \dots n - 1)$ の係数を比較して，

${\begin{matrix} I & = & B_{0} \\ a_{1} I & = & B_{1} - A B_{0} \\ a_{2} I & = & B_{2} - A B_{1} \\ ⋮ \\ a_{n - 1} I & = & B_{n - 1} - A B_{n - 2} \\ a_{n} I & = & - A B_{n - 1} \end{matrix}$
したがって $A B_{i}$ の項を移項して
${\begin{matrix} I & = & B_{0} \\ A B_{0} + a_{1} I & = & B_{1} \\ A B_{1} + a_{2} I & = & B_{2} \\ ⋮ \\ A B_{n - 2} + a_{n - 1} I & = & B_{n - 1} \\ A B_{n - 1} + a_{n} I & = & O \end{matrix}$

[3] ${\begin{matrix} A^{n} B_{0} & = A^{n} \\ A^{n - 1} B_{1} & = A^{n} B_{0} & + a_{1} A^{n - 1} \\ A^{n - 2} B_{2} & = A^{n - 1} B_{1} & + a_{2} A^{n - 2} \\ A^{n - 3} B_{3} & = A^{n - 2} B_{2} & + a_{3} A^{n - 3} \\ ⋮ \\ A B_{n - 1} & = A^{2} B_{n - 2} & + a_{n - 1} A \\ O & = A B_{n - 1} & + a_{n} I \end{matrix}$

[4] 式 (5.19) の $B_{i + 1}$ を $p_{i + 1} (s)$ ，したがって， $B_{i}$ を $p_{i} (s)$ ， $s$ を $A$ を置き換える． $B_{i}$ を $A$ で表現することから， $p_{i} (s)$ を $s$ の関数とし， $s$ に $A$ を代入する見通しである．

[5] 式 (5.21) の両辺を $p (s)$ でわると，

$I = (s I - A) {I \frac{s^{n - 1}}{p (s)} + p_{1} (A) \frac{s^{n - 2}}{p (s)} + p_{2} (A) \frac{s^{n - 3}}{p (s)} + \dots + p_{n - 2} (A) \frac{s}{p (s)} + p_{n - 1} (A) \cdot \frac{1}{p (s)}}$
すなわち

$(s I - A)^{- 1} = I \frac{s^{n - 1}}{p (s)} + p_{1} (A) \frac{s^{n - 2}}{p (s)} + p_{2} (A) \frac{s^{n - 3}}{p (s)} + \dots + p_{n - 2} (A) \frac{s}{p (s)} + p_{n - 1} (A) \cdot \frac{1}{p (s)}$

[6] $p_{1} (s) = s I + a_{1} I, ∴ B_{1} = p_{1} (A) = A + a_{1} I$ で $A^{n + 1} = A \cdot A^{n} = A^{n} \cdot A$ であるから $B_{1}$ と $A$ は可換，
$p_{2} (s) = s p_{1} (s) + a_{2} I = s (s I + a_{1} I) + a_{2} I = s^{2} I + s a_{1} I + a_{2} I, ∴ B_{2} = A^{2} + a_{1} A + a_{2} I$ より，同様の理由で $B_{2}$ と $A$ は可換．
以下必要なだけ帰納的に続ければ $B_{i}$ と $A$ は可換であることがわかる．

[1]

[2]

[3]

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「制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理」の版間の差分

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