制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/行列表示と解法

(1)

前章までで取り扱った単独高階の微分方程式， テンプレート:制御と振動の数学/equation は，次のような変数を選べば，連立微分方程式とみなすことができる．すなわち， テンプレート:制御と振動の数学/equation とおけば， テンプレート:制御と振動の数学/equation となり，また初期条件は， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．

そこで，この節では，もう少し一般化した定数係数の連立 1 階線形微分方程式， テンプレート:制御と振動の数学/equation および初期条件 テンプレート:制御と振動の数学/equation を取り扱うことにする．ここで， テンプレート:制御と振動の数学/equation および， テンプレート:制御と振動の数学/equation とおけば，式 (5.10) と初期条件は， テンプレート:制御と振動の数学/equation と簡潔に表示できる．ここに， テンプレート:制御と振動の数学/equation である．

(2)

ここで少し記号の約束をしておこう． 関数を成分とする行列， テンプレート:制御と振動の数学/equation に対して，この行列の微分あるいは積分を，その成分の微分あるいは積分を成分とする行列と定義する．すなわち， テンプレート:制御と振動の数学/equation あるいは， テンプレート:制御と振動の数学/equation と約束する．この約束に従えば， テンプレート:制御と振動の数学/equation
テンプレート:制御と振動の数学/equation
は必然である． また $A(t)$ を関数を成分とする行列とし，積 $A(t)B(t)$ が定義できるものとすれば， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation などは明らかであろう．

例114$$

式 (5.11a), 式 (5.11b) を示せ．

解答例

(1) 式 (5.11a)の証明．
行列 $M$ の第 $i$ 行第 $j$ 列成分を $m_{ij}$， これと並行に成分の表示方法として，行列 $M$ の各成分を $(M{)}_{ij}$ と表示するものとすると，

$(AB{)}_{ij}=\sum _k{a}_{ik}{b}_{kj}$

よって，

${\left(\frac{d}{dt}AB\right)}_{ij}=\sum _k(\frac{d}{dt}{a}_{ik}\cdot b_{kj}+a_{ik}\cdot \frac{d}{dt}{b}_{kj})$

$=\sum _k\frac{d{a}_{ik}}{dt}{b}_{kj}+\sum _k{a}_{ik}\frac{d{b}_{kj}}{dt}$

$=\sum _k{\left(\frac{dA}{dt}\right)}_{ik}\cdot b_{kj}+\sum _k{a}_{ik}\cdot {\left(\frac{dB}{dt}\right)}_{kj}$

$={\left(\frac{dA}{dt}B\right)}_{ij}+{\left(A\frac{dB}{dt}\right)}_{ij}$

$={(\frac{dA}{dt}B+A\frac{dB}{dt})}_{ij}$

以上により式 (5.11a)の証明が完了する．

(2)式 (5.11b)の証明．

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dB}{dt}dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(\begin{array}{ccc}\frac{d}{dt}{b}_{11}& \cdots & \frac{d}{dt}{b}_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ \frac{d}{dt}{b}_{m1}& \cdots & \frac{d}{dt}{b}_{mn}\end{array}\right)dt$

$=\left(\begin{array}{ccc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dt}{b}_{11}dt& \cdots & \underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dt}{b}_{1n}dt\\ ⋮& & ⋮\\ \underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dt}{b}_{m1}dt& \cdots & \underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dt}{b}_{mn}dt\end{array}\right)$

ここで $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{df}{dt}dt=f(b)-f(a)$ より，

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dB}{dt}dt=\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}(b)-b_{11}(a)& \cdots & b_{1n}(b)-b_{1n}(a)\\ ⋮& & ⋮\\ b_{m1}(b)-b_{m1}(a)& \cdots & b_{mn}(b)-b_{mn}(a)\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}(b)& \cdots & b_{1n}(b)\\ ⋮& & ⋮\\ b_{m1}(b)& \cdots & b_{mn}(b)\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}(a)& \cdots & b_{1n}(a)\\ ⋮& & ⋮\\ b_{m1}(a)& \cdots & b_{mn}(a)\end{array}\right)$

$=B(b)-B(a)$

$\mathrm{♢}$

したがって， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation などの計算が許される．ただし 式 (5.13) の $A$ は定数行列とする． たとえば式 (5.12) の証明は次のとおりである。 テンプレート:制御と振動の数学/equation と略記すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation ただ定義に従って変形していくだけでよい．

(3)

さて以上の準備の下に， テンプレート:制御と振動の数学/equation は次のように解くことができる． この式を Laplace 変換すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation すなわち， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．ここに $I$ は $n$ 次の単位行列である． $(sI-A{)}^{-1}$ を $(sI-A)$ の逆行列とすれば， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．いま， テンプレート:制御と振動の数学/equation とおけば， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．以上は例題を通して考察したことの繰り返しに過ぎない． これからわかるように，連立微分方程式を解くことの中心は式 (5.14) を計算することである．