制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/1 次独立性

定数係数の線形微分方程式を， テンプレート:制御と振動の数学/equation とおく．ここに $p(s)$ は特性多項式である．もし，これが， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation と因数分解できるならば，式 (3.25) の解は， テンプレート:制御と振動の数学/equation および， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation のような $n$ 個の関数の 1 次結合で与えられることは，前節で示した．ここに， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation である．これらが 1 次独立であることを示すのが，本項の目的である．つまり $t$ に関する恒等式， テンプレート:制御と振動の数学/equation から，すべての $i,l,j,m$ に対して， テンプレート:制御と振動の数学/equation を示すことである．この証明には補題 3.4 と，前章に示した事実， テンプレート:制御と振動の数学/equation および テンプレート:制御と振動の数学/equation を用いる．

定理 3.4

$n$ 個の関数 テンプレート:制御と振動の数学/equation は 1 次独立である．

証明 テンプレート:制御と振動の数学/equation の場合を証明すれば十分であろう．一般の場合は添え字 $i,j$ などが二重についてわずらわしいだけである． テンプレート:制御と振動の数学/equation に， テンプレート:制御と振動の数学/equation を作用させると，$i=l$ の場合以外はすべて消えて， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．補題 3.4 により テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．次に， テンプレート:制御と振動の数学/equation を作用させると $A_l=0$ となり，以下同様にして， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．このとき式 (3.26) は， テンプレート:制御と振動の数学/equation となっている．これに， テンプレート:制御と振動の数学/equation を作用させると， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．以下同様にして， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．

$\mathrm{♢}$