制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/三角関数の Laplace 変換とその応用

§1

テンプレート:制御と振動の数学/equation を公式 テンプレート:制御と振動の数学/equation を用いて Laplace 変換する． テンプレート:制御と振動の数学/equation とおくと，$f(0)=0,f^{\prime }(0)=\beta$ であるから，式(2.18) は テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．

また， テンプレート:制御と振動の数学/equation を Laplace 変換すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．

例35$$

Laplace 変換の定義式から，直接三角関数の Laplace 変換を導け．

解答例

$ℒ[\sin \omega t]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin \omega t{e}^{-st}dt$

$=\frac{1}{s}{[\sin \omega t{e}^{-st}]}_{\mathrm{\infty }}^0+\frac{\omega }{s}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos \omega t{e}^{-st}dt$

$=\frac{1}{s}(0-0)+\frac{\omega }{s}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos \omega t{e}^{-st}dt$

$=\frac{\omega }{s}\{\frac{1}{s}{[\cos \omega t{e}^{-st}]}_{\mathrm{\infty }}^0-\frac{\omega }{s}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin \omega t{e}^{-st}dt\}$

$=\frac{\omega }{s^2}(1-0)-\frac{{\omega }^2}{s^2}ℒ[\sin \omega t]$

$\therefore (1+\frac{{\omega }^2}{s^2})ℒ[\sin \omega t]=\frac{\omega }{s^2}$

$\therefore ℒ[\sin \omega t]=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$

また $\frac{\omega }{s}ℒ[\cos \omega t]=ℒ[\sin \omega t]$ より

$ℒ[\cos \omega t]=\frac{s}{\omega }\cdot \frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}=\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$

$\mathrm{♢}$

例36$$

$\frac{d^2}{d{t}^2}\cos \beta t=-{\beta }^2\cos \beta t$ を Laplace 変換することにより上の結果を導け．

解答例

$f(t)=\cos \beta t,f⊐F$ とすると，

$s^{2}F-s\cdot 1-0=-{\beta }^{2}F$

$\therefore ℒ[\cos \beta t]=F=\frac{s}{s^2+{\beta }^2}$

$\mathrm{♢}$

以上をまとめて テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．

次に式 (2.19) から得られる興味ある結果を示そう． 右辺を $\frac{1}{s}$ で展開する． テンプレート:制御と振動の数学/equation この原像を求めると， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．これは $\sin \beta t$ の Taylor 展開である．

例37$$

上の例にならって $\cos \beta t$ を Taylor 展開せよ．

解答例

$\frac{s}{s^2+{\beta }^2}=\frac{s}{s^2(1+\frac{{\beta }^2}{s^2})}$$=\frac{1}{s}-\frac{{\beta }^2}{s^3}+\frac{{\beta }^4}{s^5}-\frac{{\beta }^6}{s^7}+\cdots$
よってその原像は，
$\cos \beta t=1-\frac{{\beta }^2{t}^2}{2!}+\frac{{\beta }^4{t}^4}{4!}-\frac{{\beta }^6{t}^6}{6!}+\cdots$

$\mathrm{♢}$

例38$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation を解け．

解

与式を Laplace 変換 すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation よって， テンプレート:制御と振動の数学/equation この原像は， テンプレート:制御と振動の数学/equation

$\mathrm{♢}$

例39$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation を解け．

解

与式を Laplace 変換すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation これを $ℒ[x]$ と $ℒ[y]$ について解くと， テンプレート:制御と振動の数学/equation となるから，この原像は テンプレート:制御と振動の数学/equation である．

$\mathrm{♢}$

応用例

バネの振動

テンプレート:制御と振動の数学/equation の周期を求めてみよう．今， テンプレート:制御と振動の数学/equation と変形しておいて Laplace 変換する． テンプレート:制御と振動の数学/equation これを $ℒ[x]$ について解くと， テンプレート:制御と振動の数学/equation この原像を求めると， テンプレート:制御と振動の数学/equation ただし $x(0)=x_0,x^{\prime }(0)=v_0$ とおいた．次に $\sin$ と $\cos$ を合成して テンプレート:制御と振動の数学/equation ここに， テンプレート:制御と振動の数学/equation と変形すると，周期 $T$ は， テンプレート:制御と振動の数学/equation であることが分かる．さて、バネに錘 $m$ をつけたときの伸びを $\delta$ とすると， 力の釣り合いの式から， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得るから，この伸び $\delta$ を用いると， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．$\delta$ を静たわみと呼ぶことがある． このバネ振子と振り子とを比べてみると面白い． この振り子の運動方程式， テンプレート:制御と振動の数学/equation は，$\theta$ が小さいときは $\sin \theta \fallingdotseq \theta$ であるから テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．よってこの振り子の周期は， テンプレート:制御と振動の数学/equation である．さきの静たわみ $\delta$ は，この振り子の長さ $l$ に相当する．

例40$$

次の微分方程式を解け． テンプレート:制御と振動の数学/equation

解答例

$X⊏x,F⊏f(t)$ とおき，与方程式の Laplace 変換をとると，

$s^{2}X-s{x}_0-v_0+{\beta }^{2}X=F$

$\therefore X=\frac{x_{0}s+v_0}{s^2+{\beta }^2}+\frac{1}{\beta }\frac{\beta F}{s^2+{\beta }^2}$

この原像は，

$x(t)=x_0\cos \beta t+\frac{v_0}{\beta }\sin \beta t+\frac{1}{\beta }\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )\sin \beta (t-\tau )d\tau$

$\mathrm{♢}$

例41$$

次の微分方程式を解け． テンプレート:制御と振動の数学/equation

解答例

$X⊏x(t),Y⊏y(t)$ とおき，与方程式の Laplace 変換をとると，

$\{\begin{array}{cc}sX-x_0& =\beta Y\\ sY-y_0& =-\beta X\end{array}$

$\left(\begin{array}{cc}s& -\beta \\ \beta & s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}s& -\beta \\ \beta & s\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=\frac{1}{s^2+{\beta }^2}\left(\begin{array}{cc}s& \beta \\ -\beta & s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$$=\frac{1}{s^2+{\beta }^2}\left(\begin{array}{c}s{x}_0+\beta y_0\\ -\beta x_0+s{y}_0\end{array}\right)$
この原像は，
$\{\begin{array}{cc}x(t)& =x_0\cos \beta t+y_0\sin \beta t\\ y(t)& =y_0\cos \beta t-x_0\sin \beta t\end{array}$

$\mathrm{♢}$

§2

第一移動定理 テンプレート:制御と振動の数学/equation を式(2.19) に用いると， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．

例42$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation を解け．

解

$x(t)⊐X(s)$ とおくと， テンプレート:制御と振動の数学/equation これを $X(s)$ について解く． テンプレート:制御と振動の数学/equation

この原像を求めると， テンプレート:制御と振動の数学/equation $\mathrm{♢}$

例43$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation を解け．

解

テンプレート:制御と振動の数学/equation とおくと， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．これを $X$ について解くと， テンプレート:制御と振動の数学/equation ところで テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから テンプレート:制御と振動の数学/equation

$\mathrm{♢}$

例44$$

解答例

$x(t)⊐X$

とおくと，

$s^{2}X+sX+X=\frac{7}{s-2}$

$\therefore X=\frac{7}{(s-2)(s^2+s+1)}=\frac{A}{s-2}+\frac{Bs+C}{s^2+s+1}$

とおいて，

$A=1,B=-1,C=-3$

すなわち

$X=\frac{1}{s-2}+\frac{-s-3}{s^2+s+1}$

$=\frac{1}{s-2}+\frac{-(s+\frac{1}{2})}{s^2+s+1}+\frac{-\frac{5}{2}}{s^2+s+1}$

$=\frac{1}{s-2}+$$\frac{-(s+\frac{1}{2})}{(s+\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}+\frac{-5}{\sqrt{3}}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{(s+\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}$

この原像は，

$x(t)=e^{2t}-e^{-\frac{t}{2}}(\cos \frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{5}{\sqrt{3}}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}t)$

$\mathrm{♢}$

別解例

例43 で求めた解に $f(t)=7e^{2t}$ を代入する．

$x(t)=\frac{2}{\sqrt{3}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\{e^{-\frac{1}{2}(t-\tau )}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau )\}f(\tau )d\tau$

に $f(t)=7e^{2t}$ を代入すると，

$x(t)=\frac{2}{\sqrt{3}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{\frac{-t+\tau }{2}}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau )\cdot 7e^{2\tau }d\tau$

$=\frac{14}{\sqrt{3}}{e}^{-\frac{t}{2}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{\frac{5\tau }{2}}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau )d\tau$

$I_1=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{\frac{5}{2}\tau }\sin \frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau )d\tau$ とおいて部分積分を実行すると，

$I_1=\frac{2}{\sqrt{3}}{[e^{\frac{5\tau }{2}}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau )]}_0^t-\frac{5}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{\frac{5\tau }{2}}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau )d\tau$

$=\frac{2}{\sqrt{3}}\{e^{\frac{5}{2}t}-\cos \frac{\sqrt{3}}{2}t\}-\frac{5}{\sqrt{3}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{\frac{5\tau }{2}}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau )d\tau$

$I_2=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{\frac{5\tau }{2}}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau )d\tau$ とおいて部分積分を実行すると，

$I_2=\frac{-2}{\sqrt{3}}{[e^{\frac{5}{2}\tau }\sin \frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau )]}_0^t+\frac{5}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{\frac{5}{2}\tau }\sin \frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau )d\tau$

$=\frac{-2}{\sqrt{3}}\{0-\sin \frac{\sqrt{3}}{2}t\}+\frac{5}{\sqrt{3}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{\frac{5}{2}\tau }\sin \frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau )d\tau$

$=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{5}{\sqrt{3}}{I}_1$

前に戻って，

$I_1=\frac{2}{\sqrt{3}}(e^{\frac{5}{2}t}-\cos \frac{\sqrt{3}}{2}t)-\frac{5}{\sqrt{3}}(\frac{2}{\sqrt{3}}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{5}{\sqrt{3}}{I}_1)$

$=\frac{2}{\sqrt{3}}(e^{\frac{5}{2}t}-\cos \frac{\sqrt{3}}{2}t)-\frac{10}{3}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac{25}{3}{I}_1$

すなわち，

$(1+\frac{25}{3})I_1=\frac{2}{\sqrt{3}}(e^{\frac{5}{2}t}-\cos \frac{\sqrt{3}}{2}t)-\frac{10}{3}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}t$

$\therefore I_1=\frac{3}{28}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}(e^{\frac{5}{2}t}-\cos \frac{\sqrt{3}}{2}t)-\frac{3}{28}\cdot \frac{10}{3}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}t$

$=\frac{\sqrt{3}}{14}(e^{\frac{5}{2}t}-\cos \frac{\sqrt{3}}{2}t)-\frac{5}{14}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}t$

$\therefore x(t)=\frac{14}{\sqrt{3}}{e}^{-\frac{t}{2}}\{\frac{\sqrt{3}}{14}(e^{\frac{5}{2}t}-\cos \frac{\sqrt{3}}{2}t)-\frac{5}{14}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}t\}$

$=e^{2t}-e^{-\frac{t}{2}}(\cos \frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{5}{\sqrt{3}}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}t)$

$\mathrm{♢}$

例45$$

解答例

$x(t)⊐X,f(t)⊐F$

とおくと

$(s^{2}X-x_{0}s-v_0)+(sX-x_0)+X=F$

$\therefore X=\frac{x_{0}s+v_0+x_0}{s^2+s+1}+\frac{F}{s^2+s+1}$

過渡解 $u(t)$ については，

$\frac{x_{0}s+v_0+x_0}{s^2+s+1}=\frac{x_0(s+\frac{1}{2})+v_0+\frac{x_0}{2}}{(s+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}$

$=x_0\cdot \frac{s+\frac{1}{2}}{(s+\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}+(v_0+\frac{x_0}{2})\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{(s+\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}$

この原像は，

$u(t)=x_0{e}^{-\frac{1}{2}t}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}t+(v_0+\frac{x_0}{2})\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}{e}^{-\frac{1}{2}t}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}t$

定常解 $v(t)$ については 例43 より

$v(t)=\frac{2}{\sqrt{3}}(e^{-\frac{1}{2}t}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}t)*f(t)$

$=\frac{2}{\sqrt{3}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\{e^{-\frac{1}{2}(t-\tau )}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau )\}f(\tau )d\tau$

よって解 $x(t)$ は，

$x(t)=u(t)+v(t)=x_0{e}^{-\frac{1}{2}t}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}t+(v_0+\frac{x_0}{2})\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}{e}^{-\frac{1}{2}t}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{2}{\sqrt{3}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\{e^{-\frac{1}{2}(t-\tau )}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau )\}f(\tau )d\tau$

$\mathrm{♢}$

§3

テンプレート:制御と振動の数学/equation の原像を求めよう．

(i) テンプレート:制御と振動の数学/equation であったから， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation

(ii) テンプレート:制御と振動の数学/equation とおくと，今求めた $x=\frac{1}{2{\beta }^2}(\frac{1}{\beta }\sin \beta t-t\cos \beta t)$ より $x(0)=0$ である． テンプレート:制御と振動の数学/equation にて $x(0)=0$ より テンプレート:制御と振動の数学/equation となるから、上の結果を用いて テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．以上をまとめると

この応用として，外力を伴う単振動を取り扱おう． テンプレート:制御と振動の数学/equation $t=0$ では静止していたものとする．いま， テンプレート:制御と振動の数学/equation とおくと，上式は， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．これを解けばよい．

(i) $\omega \ne \beta$ の場合

式(2.22) を Laplace 変換すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation この原像は テンプレート:制御と振動の数学/equation おもりの位置 $x$ に，微分方程式の形に由来する力学系の固有振動の項 $\sin \beta t$ の他， 外力による振動の項 $\sin \omega t$ が現れていることに注目する．この二つの振動数が近づくほど $\frac{K\omega }{{\omega }^2-{\beta }^2}$ の分母の影響により，$|x|$ が大きくなることがわかる． 力学系の固有振動数 $\beta$ と外力の振動数 $\omega$ が同一となると、ついにはこの力学系にて問題を引き起こすのである．

(ii)$\omega =\beta$ の場合

同じく，式(2.22) を Laplace 変換すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation この原像は， テンプレート:制御と振動の数学/equation 第二項に注目する．この項には $t$ があるため， テンプレート:制御と振動の数学/equation となり，建造物の場合などでは破壊が起こる．いわゆる共振現象と呼ばれているものがこれである．

例46$$ テンプレート:制御と振動の数学/equation を解け．

解答例

$X⊏x$

とおくと

$s^{2}X-2s-0+9X=\frac{6s}{s^2+9}$

$X=\frac{2s}{s^2+9}+\frac{6s}{(s^2+9{)}^2}$

この原像は，

$x=2\cos 3t+6\cdot \frac{t}{2\cdot 3}\sin 3t$

$=2\cos 3t+t\sin 3t$

$\mathrm{♢}$

式(2.21) に 第一移動定理 を用いると， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．

例47$$ テンプレート:制御と振動の数学/equation を解け．

解答例

$X⊏x$

とおくと

$s^{2}X-1+2sX+2X=-2\cdot \frac{1}{(s+1{)}^2+1}$

$(s^2+2s+2)X=1-2\cdot \frac{1}{(s+1{)}^2+1}$

$X=\frac{1}{(s+1{)}^2+1}-2\cdot \frac{1}{[(s+1{)}^2+1{]}^2}$

この原像は，

$x=e^{-t}\sin t-2\cdot \frac{e^{-t}}{2}(\frac{1}{1}\sin t-t\cos t)$

$x=e^{-t}\sin t-e^{-t}(\sin t-t\cos t)$

$x=t{e}^{-t}\cos t$

$\mathrm{♢}$