制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換

§1

$f(t)$ の不定積分は，次のように合成積 テンプレート:制御と振動の数学/equation と書けることに注意しよう．すなわち，積分するということは，合成積の意味で $1$ を掛けることを意味する． Laplace 変換の基本性質の(1) と(3)を用いると， テンプレート:制御と振動の数学/equation よって テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．すなわち $t$ 領域での積分は $s$ 領域では $s$ で割ることに対応する．

さて， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation 以下同様にして，帰納的に， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．この左辺の Laplace 変換は，基本性質のLaplace 変換の基本性質の(1)と(3)を用いれば， テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．

例20$$

式(2.8) を Laplace 変換の定義式から直接導け．

解答例$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation すなわち テンプレート:制御と振動の数学/equation これと，基本性質(1)すなわち テンプレート:制御と振動の数学/equation および基本性質(2)とを再帰的に適用して式(2.8)を得られる．実際、 テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation すなわち テンプレート:制御と振動の数学/equation これに基本性質(2)を適用すれば， テンプレート:制御と振動の数学/equation この導出方法は基本性質(1)(2)を使ってしまっているし，あと，こういうのは数学的帰納法で記述するべきであるが，基本性質(1)(2)は容易な積分なこともありこれで勘弁してほしい．

$\mathrm{♢}$

これらの結果を用いて、次の Cauchey の公式と呼ばれるものを示そう． テンプレート:制御と振動の数学/equation

証明$$

合成積の記号を用いて表せば一目瞭然である．すなわち， テンプレート:制御と振動の数学/equation となるが，この式の正しいことは式(2.7)から明らかである． $\mathrm{♢}$

なお Cauchy の公式を Laplace 変換すれば，その像は，左辺右辺ともに， テンプレート:制御と振動の数学/equation になることを注意しておこう．

§2

$f(t)$ の導関数を $f^{\prime }(t)$ とする．微分積分法の基本公式， テンプレート:制御と振動の数学/equation の両辺を Laplace 変換すると テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．$s$ を払えば， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．$f(0)=0$ ならば， テンプレート:制御と振動の数学/equation となり，$t$ 領域での微分は，$s$ 領域で $s$ を掛けることに対応し，微分と積分が逆演算であることが鮮明となる．

式(2.10) を 2 度繰り返すと テンプレート:制御と振動の数学/equation よって テンプレート:制御と振動の数学/equation 以下同様にして， 帰納的に テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．初期値がすべて $0$ の場合，この公式は， テンプレート:制御と振動の数学/equation とみなしてよいことを示している．なお $f^{(n)}$ は $f$ の第 $n$ 階導関数である． 式(2.11) は Taylor の公式を示す．事実，$ℒ[f]$ について解くと， テンプレート:制御と振動の数学/equation となるが，式(2.8)および Cauchey の公式 (2.9) を用いて，この原像を求めれば， テンプレート:制御と振動の数学/equation

例21$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation を解け．

解答例

式(2.11a) に $f(0)=a_0,f^{\prime }(0)=a_1,\cdots f^{(n-1)}(0)=a_{n-1}$ を代入すればよい．

$\mathrm{♢}$