制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質/定義

$f(t)$ を実変数の実数値関数、$s$ を実数とするとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation で定義される $s$ の関数 $F(s)$ を $f(t)$ の Laplace 変換といい， テンプレート:制御と振動の数学/equation と表す．このとき $F(s)$ を Laplace 変換の像，$f(t)$ をその原像と呼ぶ． $\mathrm{♢}$

一般には $f(t)$ は実変数の複素数値関数でもよく，$s$ も複素数とするが，当分，上のように実数の範囲で考えておく．

さて無限積分 式 (2.1) の意味は，もちろん テンプレート:制御と振動の数学/equation であり，各 $s$ に対して右辺の極限が存在すれば，それは $s$ の関数を定義するので，それを $F(s)$ とするのである． もっとも，ここで，$f(t)$ は任意の有限区間で積分できるとしている．我々の目的は微分方程式や差分方程式を解くことにあるのだから， 多くの場合 $f(t)$ は微分可能な関数で，せいぜい区分的に連続な関数である．そのときは，この条件を満たしている．

例16$$

$f(t)=1$ の Laplace 変換を求めよ．

テンプレート:制御と振動の数学/equation よって，$s>0$ ならば， テンプレート:制御と振動の数学/equation となるから，結局， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる． $\mathrm{♢}$

例17$$ テンプレート:制御と振動の数学/equation を示せ．

解答例$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation $\mathrm{♢}$

Laplace 積分の定義から分かる通り，$f(t)$ の $t<0$ の部分での値は積分には影響しない．

それゆえ，Heaviside の関数： テンプレート:制御と振動の数学/equation に対しても， テンプレート:制御と振動の数学/equation でる．したがって $t<0$ の部分も考えると，$f(t)$ と $F(s)$ とは 1 対 1 に対応しないことになる． $t<0$ の部分が関係してくる場合，たとえば $f(t-\alpha ),\alpha >0$ の Laplace 変換を考えるときなどは， テンプレート:制御と振動の数学/equation と約束しておく．こうすると実質的に $f(t)$ と $F(s)$ は 1 対 1 に対応する． “実質的に”というのは，不連続点などの例外点を除いて、という意味である． この約束は当分必要でないが，差分方程式を取り扱うときなどに重要となる．