数学演習/数学III/微分法/解答

本項は数学演習/数学III/微分法の解答を示す。

微分法

微分係数と導関数

〔1〕導関数の定義$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$を用いる。

(1) $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\{(x+h{)}^2+1\}-(x^2+1)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h)=2x$

(2) $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{2}{x+h}-\frac{2}{x}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }-\frac{2}{x^2+hx}=-\frac{2}{x^2}$

(3) $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

〔2〕　まず、関数$f(x)=|x+1|$ は $x=-1$で連続である。一方、

$\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\frac{|h|}{h}$より、

$\underset{h\to +0}{\lim }\frac{|h|}{h}=1$、$\underset{h\to -0}{\lim }\frac{|h|}{h}=-1$

この2式は等しくないので、$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}$、すなわち、$x=-1$における微分係数は存在しない。故に、示された。

微分の計算の基本

(1)は数学IIの復習、(2)は積の微分、(3)は商の微分、(4)・(5)は合成関数の微分である。

(1) $f^{\prime }(x)=4x^3+6x^2-10x+3$

(2) $f^{\prime }(x)=2x(4x+2)+(x^2+3)\cdot 4=12x^2+4x+12$

(3) $f^{\prime }(x)=\frac{6x(x+2)-(3x^2+1)}{(x+2{)}^2}=\frac{3x^2+12x-1}{(x+2{)}^2}$

(4) $f^{\prime }(x)=5(2x+7{)}^4\cdot (2x+7{)}^{\prime }=10(2x+7{)}^4$

(5) $f^{\prime }(x)=-5\cdot \frac{2}{(2x+7{)}^6}=-\frac{10}{(2x+7{)}^6}$

色々な微分の計算

(6)は対数微分法を用いた方が圧倒的に速い（商の微分でも出来ないことはないがかなり面倒）。

(1) $f^{\prime }(x)=\cos (x^2-3)\cdot (x^2-3{)}^{\prime }=2x\cos (x^2-3)$

(2) $f^{\prime }(x)=-\sin (\sqrt{4x-3})\cdot (\sqrt{4x-3}{)}^{\prime }=-\frac{2\sin (\sqrt{4x-3})}{\sqrt{4x-3}}$

(3) $f^{\prime }(x)=\cos (x+\frac{\pi }{3})$

(4) $f(x)=2\log |x|$なので、$f^{\prime }(x)=\frac{2}{x}$

(5) $f^{\prime }(x)=\frac{(\sin x{)}^{\prime }}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}$

(6) 両辺の対数をとると、$\log f(x)=5\log (x-3)-\frac{1}{3}\log (2x+5)$

そして両辺を$x$で微分すると、$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{5}{x-3}-\frac{2}{3(2x+5)}=\frac{28x+81}{3(x-3)(2x+5)}$

したがって、$f^{\prime }(x)=\frac{28x+81}{3(x-3)(2x+5)}\cdot \frac{(x-3{)}^5}{\sqrt[3]{2x+5}}=\frac{(x-3{)}^4(28x+81)}{3(2x+5)\sqrt[3]{2x+5}}$

(7) $f^{\prime }(x)=(2x+1{)}^{\prime }{e}^{2x+1}=2e^{2x+1}$

(8) $f^{\prime }(x)=(x^2{)}^{\prime }{2}^{x^2}\log 2=2^{x^2+1}x\log 2$

(9) $f^{\prime }(x)=\frac{2x\log x-x^2\cdot \frac{1}{x}}{(\log x{)}^2}=\frac{(2\log x-1)x}{(\log x{)}^2}$

(10) $f(x)=\frac{1}{2}(\log |2x^2-1|-\log |2x+1|)$なので、$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(\frac{4x}{2x^2-1}-\frac{2}{2x+1})=\frac{2x}{2x^2-1}-\frac{1}{2x+1}=\frac{2x^2+2x+1}{(2x^2-1)(2x+1)}$

第n次導関数

1つずつ微分していく。

(1) $f^{\prime }(x)=20x^3-12x^2+4x$

$f^{″}(x)=60x^2-24x+4$

$f^{‴}(x)=120x-24$

(2) $f^{\prime }(x)=\sin x+x\cos x$

$f^{″}(x)=\cos x+\cos x-x\sin x=2\cos x-x\sin x$

$f^{‴}(x)=-2\sin x-\sin x-x\cos x=-3\sin x-x\cos x$

(3) $f^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot (x+1)-(x^2+1)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-1}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+1{)}^2-2}{(x+1{)}^2}=1-\frac{2}{(x+1{)}^2}$

$f^{″}(x)=(1-2(x+1{)}^{-2}{)}^{\prime }=\frac{4}{(x+1{)}^3}$

$f^{‴}(x)=(4(x+1{)}^{-3}{)}^{\prime }=-\frac{12}{(x+1{)}^4}$

陰関数の導関数

(1) $2y\frac{dy}{dx}=4$より、$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{y}$

(2) $\frac{x}{8}+\frac{2}{9}y\frac{dy}{dx}=0$より、$\frac{dy}{dx}=-\frac{9x}{16y}$

(3) $2x+4y+4x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0$より、$x+2y+(2x+y)\frac{dy}{dx}=0$なので、$\frac{dy}{dx}=-\frac{x+2y}{2x+y}$