チェザロ平均

数列$\left\{a_n\right\}$に対して、初項から第n項までの総和をnで割ったもの、即ち

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k$

をw:チェザロ平均という。

さて、チェザロ平均について、次の性質が成り立つ。

$a_n\to \alpha \Rightarrow \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\to \alpha$

この結果の数学的利用価値については上記のWikipediaへのリンクを参照してもらうとして、ε-N論法の練習としてこの命題を証明してみよう。

証明 まず、仮定をε-N論法で書き直しておく。

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}(n>N\Rightarrow |a_n-\alpha |<\epsilon )\cdots (1)$

ここで、

$|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k-\alpha |$

を考えると、

$|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k-\alpha |$

$=|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k-\frac{n\alpha }{n}|$

$=|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(a_k-\alpha )|$

三角不等式を用いて変形すると、

$|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(a_k-\alpha )|\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n|a_k-\alpha |$

となる。 いま、(1)の各εと対応するNに対して、n>Nとして、

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n|a_k-\alpha |$

$=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^N|a_k-\alpha |+\frac{1}{n}\sum _{k=N+1}^n|a_k-\alpha |$

$<\frac{1}{n}\sum _{k=1}^N|a_k-\alpha |+\frac{n-N}{n}\epsilon$

$<\frac{1}{n}\sum _{k=1}^N|a_k-\alpha |+\epsilon$

ここで、任意の実数より大きな自然数が存在するから（これをアルキメデスの原理と言う/アルキメデスの原理は定理である）、

$\frac{1}{\epsilon }\sum _{k=1}^N|a_k-\alpha |<M$

すなわち

$\frac{1}{M}\sum _{k=1}^N|a_k-\alpha |<\epsilon$

を満たす自然数Mが存在する。 よって、各εに対して、Nより大きくかつM以上のnで、

$|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k-\alpha |<\epsilon +\epsilon =2\epsilon$

以上のように、任意の正の実数εに対して、max{N,M}なる自然数が存在して、nがこれより大きいとき、$|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k-\alpha |$がεの定数倍より小さくなるから、

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\to \alpha$　■