電磁気学/電磁波の式の導出

テンプレート:Pathnav ここではマクスウェルの方程式から電磁波の波動方程式を導く。

通常、マクスウェルの式は E を電場の強度、B を磁束密度、D を電束密度、H を磁場の強度、ρ を電荷密度、j を電流密度として、作用素 ∇ を用いて

$\{\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁(t,𝐱)& =0\\ \mathrm{\nabla }\times 𝐄(t,𝐱)+\frac{\partial 𝐁(t,𝐱)}{\partial t}& =0\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐃(t,𝐱)& =\rho (t,𝐱)\\ \mathrm{\nabla }\times 𝐇(t,𝐱)-\frac{\partial 𝐃(t,𝐱)}{\partial t}& =𝐣(t,𝐱)\end{array}$

と表記されるが、真空中ではE-B対応とE-H対応により、電束密度 D と電場 E 及び磁場の強度 H と磁束密度 B がそれぞれ

$𝐃={\epsilon }_0𝐄$

$𝐇=\frac{1}{{\mu }_0}𝐁$

と言う関係にあるため、ベクトル解析の回転（「∇×」）と勾配（「∇」）及び発散（「∇·」）とラプラシアン（「∇²」）の演算子をそれぞれ

$\mathrm{rot},\mathrm{grad},\mathrm{div},\mathrm{\Delta }$

と定義すると

$\{\begin{array}{cc}\mathrm{div}𝐁=0& \cdots (1)\\ \mathrm{rot}𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}& \cdots (2)\\ \mathrm{div}𝐄=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}& \cdots (3)\\ \mathrm{rot}𝐁={\mu }_0𝐣+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}& \cdots (4)\end{array}$

と表わせる。

まず、(2)式の両辺のベクトル場それぞれの回転をとり

$\mathrm{rot}(\mathrm{rot}𝐄)=-\mathrm{rot}\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$

と変形して、この式の左辺にベクトル解析の公式 $\mathrm{rot}(\mathrm{rot}𝐅)=-\mathrm{\Delta }𝐅+\mathrm{grad}(\mathrm{div}𝐅)$ を適用し、右辺は時間微分と空間微分とを交換すると

$-\mathrm{\Delta }𝐄+\mathrm{grad}(\mathrm{div}𝐄)=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{rot}𝐁)$

となる。そしてこの式に、(3)式及び(4)式を代入すると

$\therefore -\mathrm{\Delta }𝐄+\frac{1}{{\epsilon }_0}\mathrm{grad}\rho =-{\mu }_0\frac{\partial 𝐣}{\partial t}-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}\cdots (5)$

となる。

また、(4)式の両辺のベクトル場それぞれの回転をとり

$\mathrm{rot}(\mathrm{rot}𝐁)={\mu }_0\mathrm{rot}𝐣+{\mu }_0{\epsilon }_0\mathrm{rot}\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

と変形した後、電場の場合と同様に

$-\mathrm{\Delta }𝐁+\mathrm{grad}(\mathrm{div}𝐁)={\mu }_0\mathrm{rot}𝐣+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{rot}𝐄)$

と式変形して、この式に(1)式及び(2)式を代入すると

$\therefore -\mathrm{\Delta }𝐁={\mu }_0\mathrm{rot}𝐣-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}\cdots (6)$

となる。

ここで、ダランベルシアンを

$◻=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\mathrm{\Delta }$

と定義すると、(5)式及び(6)式は

∴ $\begin{array}{cc}& ◻𝐄=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\mathrm{grad}\rho -{\mu }_0\frac{\partial 𝐣}{\partial t}+(\frac{1}{c^2}-{\mu }_0{\epsilon }_0)\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}\\ & ◻𝐁={\mu }_0\mathrm{rot}𝐣+(\frac{1}{c^2}-{\mu }_0{\epsilon }_0)\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}\end{array}$

と表され、電磁波を伝播速度が

$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}$

で表される波であると仮定すると

∴ $\begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}◻𝐄& =-\frac{1}{{\epsilon }_0}(\mathrm{grad}\rho +\frac{1}{c^2}\frac{\partial 𝐣}{\partial t})\\ & =-{\mu }_0(c^2\mathrm{grad}\rho +\frac{\partial 𝐣}{\partial t})\end{array}\\ & \begin{array}{cc}◻𝐁& ={\mu }_0\mathrm{rot}𝐣\\ & =\frac{1}{{\epsilon }_0{c}^2}\mathrm{rot}𝐣\end{array}\end{array}$

となり、真空の透磁率 μテンプレート:Sub か真空の誘電率 εテンプレート:Sub のどちらか一方のみを係数として表す事も出来る。更に、電流が存在しなければ ρ 及び j が消えるので、(5)式及び(6)式は完全に電磁波に関する波動方程式となる。